LOGIKA: to nauka o regułach poprawnego rozumowania.

W XIX wieku powstałą logika matematyczna.

Podstawowy element logiki to zdanie oznajmujące. Zdanie powinno mieć wartość logiczną.

Rozróżniamy zdania:

1. PROSTE

1 podmiot, 1 orzeczenie.

Zdanie proste może mieć wartość logiczną -prawda albo fałsz.

„P” - oznacza zdania

1 P(Prawdziwe)

W(P) = { ---------------------

• F (Fałszywe)

2. ZŁOŻONE

PQ - dwa zdania proste

P ↓ Q (↓ - funktor tzw. Łącznik)

Istnieje pięć typów spójników zdaniowych:

Istnieje pięć typów spójników zdaniowych:

1. NEGACJA

­¬ …. nieprawda, że ……….

TABLICA ZEROJEDYNKOWA

P	P'
1	0
0	1

Gdzie P' to zdanie zaprzeczne

2. ALTERNATYWA

V ….. lub……..

p + q lub p v q lub OR (bramka logiczna)

albo. lub

3. KONIUNKCJA

^ ….. i …..

pq lub p ^ q lub AND (bramka logiczna)

i, oraz, także

4. IMPLIKACJA- funktor opisujący zdania warunkowe (jedno wynika z drugiego)

=> … jeżeli…… to ………

p => q gdzie p - to poprzedni, q - następny

np. jeżeli 2+2 =5 to ja jestem chińczykiem

5. RÓWNOWAŻNOŚĆ- funktor opisujący oba zdania fałszywe, wtedy równoważność prawdziwa)

< = > …. wtedy i tylko wtedy gdy……

p	q	pq	p+q	p→q	p↔g
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

Istnieją również zdania złożone podrzędnie. Trzeba pamiętać, że logika dotyczy zdań złożonych współrzędnie.

Mogą być stworzone zdania wielokrotnie złożone - polega na łączeniu funktorów.

Kto przekroczy prędkość 200 km/h płaci mandat ( 1 zdanie - p)

i otrzymuje punkty karne (2 zdanie q)

lub traci prawo jazdy. (3 zdanie r)

E = p ^ q v r

1. E = p ^ (q v r)

2. E = (p ^ q) v r

TWORZYMY TABLICĘ ZEROJEDYNKOWĄ

p	q	r	E ¹	E ²
1	1	1	1	1
1	1	0	1	1
1	0	1	1	1
1	0	0	0	0
0	1	1	0	1
0	1	0	0	0
0	0	1	0	1
0	0	0	0	0

PRAWA (TAUTOLOGIE, SPRZECZNOŚCI)

SPRZECZNOŚCI: Zdaniem sprzecznym jest zdanie, które jest zawsze fałszywe.

TAUTOLOGIA: to zdania złożone, które są zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych zdaniowych p, q (PRAWO RACHUNKU ZDAŃ)

• p v p' 1 - zdanie prawdziwe lub fałszywe (deszcz pada lub nie pada)

• p ^ q' = 0 - zdanie zawsze fałszywe (deszcz pada i nie pada)

• p'' p - podwójne przeczenie jest zawsze przeczeniem

• (p v q) ` = p ^q' - nieprawdą jest, że zdanie jest prawdziwe i te też jest prawdziwe.

p	q	alternatywa	zaprzeczenie	koniunkcja	zaprzeczenie koniunkcji
1	1	1	0	1	0
1	0	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1
0	0	0	1	0	1





(( p=> p) => q) q

(p v p')' 0

KONTRAPOZYCJA

p--> p -(jeżeli ulice są suche to nie pada deszcz)

(p q) p' v q - (jeżeli wiesz że umarłeś to nie umarłeś)

ZBIORY

Zbiór to pojęcie pierwotne. Nie definiujemy.

• Zbiór liczb naturalnych:0, 1, 2, 3, 4, 5, …….. N = {0,1,2,3,4,…}

• Zbiór liczb całkowitych (bez zera): 1, 2,3, 4, 5, 5…….·· P = {1,2,3,….)

• Zbiór liczb wymiernych: ½, ⅔, 4/4, 5/6, ….. Q = {½, ⅔, 4/4, 5/6…)

p

Q= {----- q € Ż p € P}

q

Ż= {-2, -1, 0, 1, 2}

• Zbiór liczb niewymiernych: √2, e, ….. Q'

Zbiór liczb rzeczywistych R

PRZYNALEŻNOŚĆ DO ZBIORU: a € A

Aksjomaty opisują właściwości zbioru (pojęć pierwotnych) To istnienie zbioru dwuelementowego.

UNIWERSUM

Zbiór uniwersalny.

A c B gdzie A to podzbiór B nadzbiór

A jest zawarte w B

(a c A) a € B

Jeżeli a należy do A to każda a należy do B

ALGEBRA ZBIORÓW

A I B SĄ ZAWARTE W V

V

to A i B są podzbiorami V

A u B - suma





A B - iloczyn albo przecięcie (tylko wspólne)




Dopełnienie zbiorów

Jeżeli mamy zbiór A

A'




A\B - różnica zbiorów czyli należą do zbioru A i nie należą do zbioru B




AB' - czyli należy do A i dopełnienie zbioru B (czyli poza B i poza wspólnymi)




A i B ROZŁĄCZNE




wtedy:

A\B = A

AB =
czyli A n B =





(A + B ) C = AC + BC PRAWO ŁĄCZNOŚCI




(A + B) C AB'C'





A'BC AB'C





A'B'C A'BC





ABC'




A c b A € B




Wtedy A\B =


A n B = A


€ A

PREDYKATY - ORZECZENIE

np. student powinien otrzymać indeks i opłacić czesne.

U zbiór x elementy

x € U λ(x)




x studiuje filozofię x € U

λ(x) funkcja zdaniowa

1. albo jest prawdziwa

2. albo jest fałszywa

Zbiór A na którym λ(x) = 1 NAZYWAMY NOŚNIKIEM

1. zdanie jest prawdziwe dla wszystkich.

KWANTYFIKATORY

1. Kwantyfikator ogólny zwany uniwersalny, duży

A = U dla każdego x € U λ(x) = 1

• x € U : λ(x)

Ʌ λ(x) x € U

Kwantyfikator ogólny działa również na inną funkcję. tj. A =



x € U : λ'(x)

2. Kwantyfikator szczegółowy zwany inaczej egzystencjalny, mały

A ǂ
istnieją x € U λ(x) = 1

• x € U : λ(x)

V λ( = (x) x € U

**** bywają zdania z dwiema niewiadomymi i więcej.

Przykład nr 1

Student x jest na y roku

λ(x,y) x € U y € W (podzbiory)

Przykład nr 2

λ(x,y) = xy € U zbiór wszystkich ludzi

x jest synem y


x
y λ(x,y) każdy ma ojca i matkę

Przykład nr 3

λ(x) = x umie pisać

β(y) = x umie czytać

KAŻDY UMIE PISAĆ I CZYTAĆ


x : λ(x) β(y)

-- kto umie pisać na pewno umie czytać.


x : λ(x) β(y)

ALGEBRA

a 11

a 12

…

a 1 n

i= 1,2….m

a 21

a 22

…

a 2 n

(a i j))

j= 1,2….n

a n1

a n2

…

a n n

A: m x n

MACIERZ

SKALAR: to mnożenie przez liczbę

1. każdy element mnożymy przez każdy.

λA= (λ a, j)

2. dodawanie przez liczbę

A: m x n i β m x n C=A+B

(C i j) = (a i j + b i j)




6

PRAWO D.MORGAN

(p v q)' = p ^ q' (p ^ q) ` = p' v q'

B

A

A

B

---