Odwzorowanie Gaussa- Krügera- jest to równokątne walcowe poprzeczne odwzorowanie powierzchni elipsoidy obrotowej na płaszczyznę, przy czym środkowy południk obszaru odtwarza się wiernie. Obszaru całej powierzchni lub znacznej części elipsoidy nie można odwzorować bez dużych zniekształceń, dlatego obszar Ziemi należy podzielić na odpowiednie pasy południkowe. Każdy z takich pasów jest oddzielnie odwzorowany i stanowi dla siebie oddzielny układ  współrzędnych prostokątnych płaskich. Szerokości pasów ustalone są tak, ażeby każdy z nich można było odwzorować na płaszczyznę (tj. przedstawić na mapie) bez praktycznie odczuwalnych zniekształceń, które nie przekraczałyby stopnia dokładności map. W tym celu powierzchnie elipsoidy obrotowej dzieli się, począwszy od zerowego południka Greenwich, na 60 pasów południkowych po 6º każdy lub 120 pasów po 3º każdy. Południk środkowy w każdym pasie nazywamy południkiem osiowym; dzieli on pas na dwie równe części: zachodnią i wschodnią. Pasy odwzorowujemy według praw matematyki na boczną powierzchnie walca w ten sposób, ażeby została zachowana wiernokątność, tj. równość odpowiednich kątów na elipsoidzie i na płaszczyźnie. Teoretycznie biorąc, mapy w odwzorowaniu Gaussa-Krügera są obarczone zniekształceniami długości i mają w różnych niejednakową skalę, ale zniekształcenia te są tak małe, że skalę mapy w obrębie jednego arkusza można uważać za stałą. Najczęściej stosowane są pasy południkowe 3º i 6º długości geograficznej. Pasy 3-stopniowe obejmują mniejsze obszary, zapewniają uzyskanie mniejszych zniekształceń, co jest szczególnie ważne dla triangulacji, gdyż zniekształcenia na styku dwóch układów wynoszą zaledwie 17 cm na 1000 m. Pasy 6-stopniowe długości geograficznej mają tę zaletę, że pozwalają odwzorować obszar dwa razy większy niż pasy 3-stopniowe, zmniejszając do połowy liczbę styków siatek kilometrowych, jak również zmniejszają liczbę ewentualnych źródeł błędów przy najzupełniej wystarczającej dokładności liniowej. W Polsce osnowa geodezyjna ze względu na potrzebę dokładności jest wykonywana w pasach 3-stopniowych, a mapy - w pasach 6-stopniowych. Odwzorowanie to można traktować jako rozwinięcie poprzecznego odwzorowania Merkatora przez zastąpienie powierzchni kuli powierzchnią elipsoidy obrotowej. Z tego względu odwzorowanie Gaussa-Krűgera jest nazywane odwzorowaniem walcowym poprzecznym równokątnym powierzchni elipsoidy obrotowej.

Odwzorowanie Gaussa- realizowane w wąskich pasach południkowych.

Spełnia następujące warunki:

południk środkowy (osiowy) pasa odwzorowuje się na odcinek linii prostej;

skala długości na południku środkowym jest równa jedności: m₀=1, a₀=b₀=1 ;

południk środkowy odwzorowuje się wiernie na odcinek linii prostej, pozostałe południki na krzywe symetryczne względem południka środkowego (wklęsłością do obrazu południka środkowego); równik odwzorowuje się na odcinek linii prostej, prostopadłej do południka środkowego, równoleżniki - na linie krzywe symetryczne względem obrazu równika (wypukłością do obrazu równika).

Długości odcinków w odwzorowaniu Gaussa-Krügera są obarczone zniekształceniami. Zniekształcenia zależą od skali odwzorowania, nie zależą od orientacji odcinka.

Maksymalne na styku dwóch stref 3º dla skali m = 0,999923 , wynoszą: -7,7 cm/1000m na południku osiowym).

Elementarne skale długości i pól

Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem równokątnym, zatem elementarna skala długości w danym punkcie jest jednakowa we wszystkich kierunkach. Najłatwiej można ją obliczyć w funkcji odległości od południka środkowego:

lub

gdzie R - średni promień krzywizny.

Elementarną skalę pól obliczymy jako kwadrat skali m:

Odwzorowanie Gaussa-Krügera często realizowane jest w położeniu siecznym, co oznacza, że powierzchnia walca przecina powierzchnię elipsoidy wzdłuż linii przebiegających w przybliżeniu południkowo. Celem takiego postępowania jest zminimalizowanie zniekształceń:

-wzdłuż linii przecięcia obu powierzchni zniekształcenia będą zerowe,

-na obszarze między liniami przecięcia zniekształcenia będą mniejsze lecz ujemne (skurczenie) o maksymalnej wartości bezwzględnej na południku środkowym,

-na pozostałym obszarze zniekształcenia będą mniejsze ale dodatnie, tym większe im większa będzie odległość od linii przecięcia.

Współrzędne cechowane Z wzorów na współrzędne x,y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera otrzymujemy wartości w układzie, którego początek zaczepiony jest w punkcie przecięcia południka środkowego pasa odwzorowawczego z równikiem czyli w układzie pojedynczego pasa. Wygodnie jest przesunąć początek tego układu tak, aby uzyskać jednolite i dodatnie współrzędne o jednakowej liczbie cyfr. Wymagania te spełniają współrzędne cechowane.

Zastosowanie odwzorowania Gaussa-Krügera w Polsce

1) W 1920 r. wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Krugera do obliczeń wyników triangulacji państwowej (układ współrzędnych „Borowa Góra”):

-elipsoida Bessela,

-pięć 2-stopniowych pasów odwzorowawczych dla południków środkowych: 17°, 19°, 21°, 23°, 25°,

-skala m₀ = 1, X = x - 5 280 000 m, Y = y + 90 000 m

2) W 1947 r. wprowadzono skurczone odwzorowanie G-K dla map 1:10000 i większych:

-elipsoida Bessela, -cztery 3-stopniowe pasy odwzorowawcze dla południków środkowych: 15°, 18°, 21°, 24°, -skala m₀ = 0.999935, X = x, Y = y +(5 500 000, 6 500 000, 7 500 000, 8 500 000) m dla kolejnych pasów odwzorowawczych, -Od 1949 r. zmieniono skalę na południkach środkowych na m₀=1.

3)W 1952 r. wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K (układ „1942”):

-elipsoida Krasowskiego, -trzy 6-stopniowe pasy odwzorowawcze dla południków środkowych: 15°, 21°, 27°, -skala m₀ = 1, X = x, Y = y +(3 500 000, 4 500 000, 5 500 000, 8 500 000) m dla kolejnych pasów odwzorowawczych.

4)W 1965 r. we wprowadzanym układem współrzędnych „1965”, w jednej jego strefie (V-strefa katowicka) zastosowano odwzorowanie G-K:

-elipsoida Krasowskiego, -jeden pas odwzorowawczy L₀ = 18°57′30 (szerokość pasa ok.1.5°),

-skala m₀ = 0.999983, X = x - 4 700 000 m, Y = y + 237 000 m.

5)W 1992 r. wprowadzono nowy układ współrzędnych „1992”, w którym zastosowano kolejną wersję odwzorowania G-K:

-elipsoida WGS-84, -jeden 12-stopniowy pas odwzorowawczy dla całej Polski (L₀ = 19°),

-skala m₀ = 0.9993, X = x - 5 300 000 m, Y = y + 500 000 m. -Odwzorowanie to jest obowiązującym (Rozp.R.M. z dnia 8.08.2000) odwzorowaniem dla map w skalach 1:10000 i mniejszych,

6)W 2000 r. wraz z utworzeniem nowego układu współrzędnych „2000”, wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K:

-elipsoida WGS-84, -cztery 3-stopniowe pasy odwzorowawcze (15°, 18°, 21°, 24°), -skala m₀ = 0.999923, X = x, Y = y + (5 500 000, 6 500 000, 7 500 000, 8 500 000) m dla kolejnych pasów odwzorowawczych.

-Odwzorowanie to jest obowiązującym odwzorowaniem dla mapy zasadniczej (Rozp.R.M. z dnia 8.08.2000),

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) Postela

Konstrukcja odwzorowania równodługościowego, zwanego od nazwiska twórcy odwzorowaniem Postela (Guillaume Postel, 1510-1581) jest oparta na założeniu, że wszystkie koła wielkie przechodzące przez punkt styczności bryły z płaszczyzną odwzorowawczą zachowają wiernie długość, niezależnie od położenia tego punktu. Jeśli będzie nim biegun (położenie normalne), to takimi kołami wielkimi będą południki. Oznacza to, że w biegunowej siatce Posteła obrazy południków są liniami o wiernie odtworzonej długości. Odwzorowują się one zatem w postaci pęku odcinków przecinających się w punkcie głównym pod rzeczywistymi kątami. Różnice kątowe długości geograficznej
między nimi są również zachowane. Równoleżniki tworzą okręgi współśrodkowe, ale ze względu na przyjęte założenie odstępy między nimi są rzeczywiste. Aby spełnić warunek odwzorowania równodługościowego, promień obrazu równoleżnika o szerokości geograficznej (
, na którym leży punkt P, powinien być równy „wyprostowanemu" łukowi południka (
= OP' = OP), odpowiadającemu odległości biegunowej z_B = 90° -
(ryc. 23A). Ze wzoru:

(45)

wynika, że aby w siatce tej przedstawić biegun przeciwległy do stycznego, należy zakreślić okrąg o promieniu równym
R (w tym przypadku z_B = 180°). W tym odwzorowaniu można więc przedstawić całą kulę ziemską; takiej możliwości nie stwarzają siatki azymutałne omówione poprzednio, jednocześnie, ponieważ biegun antypodalny odwzorowany jest w postaci okręgu, nie zaś punktu, zniekształcenia w kierunku równoleżnikowym, niedu­że w pobliżu bieguna stycznego (jedyne miejsce zerowych zniekształceń), znacznie rosną w kierunku bieguna przeciwległego, osiągając w nim wartość nieoznaczoną. Ze względu na przyjęte założenie w kierunku południkowym (w_zn = l) nie występują zniekształcenia długości. Zniekształcenia pól i kątów zależą jedynie od wartości współczynnika znie­kształceń w kierunku równoleżnikowym. Równodługościowa siatka azymutalna w położeniu poprzecznym (równikowym) powstaje pod warunkiem zachowania wiernych długości łuków kół wielkich przecinających się w równikowym punkcie styczności, jedynymi liniami siatki geograficznej spełniającymi ten warunek są południk styczności (środkowy) i równik.

Odwzorowują się one w postaci wzajemnie prostopadłych odcinków, zachowujących rzeczywistą długość. Pozostałe połu­dniki i równoleżniki tworzą sieć linii krzywych rozmieszczonych symetrycznie względem tych dwóch wiernych długościowe linii. Odstępy między równoleżnikami na środkowym południku i między południkami na równiku są jednakowe i zgodne z odpowiednimi odległościami na kuli (ryć.23B).

W ukośnej siatce Postela, podobnie jak położeniach biegunowym i poprzecznym, cała kula ziemska odwzorowuje się w kole o promieniu
R. Południk środkowy jest linią prostą o wiernie odwzorowanej długości. Dzieli on siatkę na dwie symetryczne części. W położeniu ukośnym południki i równoleżniki nie mają już charakteru siatki ortogonalnej, jak w siatce biegunowej. Wszystkie południki i równoleżniki wraz z równikiem, z wyjątkiem południka stycznego i południka oddalonego o 180° od niego, odwzorowują się na linie krzywe o skomplikowanym kształcie. Odstępy między obrazami równoleżników na środko­wym południku - ze względu na jego długość zgodną z rzeczywistym wymiarem - są równe i takie same jak na kuli ziemskiej (ryć.23C).

Dzięki zachowaniu rzeczywistych długości wzdłuż obrazów wertykałów siatka Postela jest stosowana przede wszystkim do sporządzania map radiokomunikacji morskiej i lądowej oraz map telekomunikacyjnych i pocztowych (ceny usług zależą m.in. od odległości). Siatka równodługościowa umożliwia bezpośrednie odczytywanie rzeczywistych odległości od stacji odbiorczej (przyjętej za punkt główny siatki) do stacji nadawczej. Odwzorowanie Postela jest także stosowane na mapach ilustrujących zjawiska sejsmiczne (umożliwia pokazanie rozchodzenia się fal sejsmicznych) i na mapach dostępności czasowej (izochronicznych). Znakomicie nadaje się do prezentacji obszarów polarnych (położenie biegunowe), kontynentów i planiglobów (zniekształcenia do 90⁰ od punktu głównego nie są duże) oraz w astronomii - do opracowywania map półkul dał niebieskich.

Odwzorowanie azymutalne	Maksymalny obszar odwzorowania	Max. znieksz. dla półkuli	Cecha charakterystycz.	Najczęstsze zastosowanie
						a-1 / b-1
						2ω
						f-1
Rzut ortograficzny	półkula	-1 / 0 -180° -1	Obraz półkuli w kole o promieniu R	Do przedstawienia Ziemi jako planety, mapy Księżyca
Rzut środkowy	półkula	+∞ / +∞ 180° +∞	Łuki kół wielkich (ortodromy) odwzorowują się na linie proste	Mapy nawigacyjne, radionawigacyjne, mapy nieba, do konstrukcji zegarów słonecznych
Rzut stereograficzny	Cała kula bez przeciwległego bieguna	+1/+1 0 +3	Odwzorowuje koło na koło	Obszary półkoliste, podbiegunowe, odległość sferyczna ±20°
Odwzorowanie Postela	cała kula	0 / +0.6 +26° +0.6	Obraz całej kuli w kole o promieniu πR	Mapy radiofoniczne, sejsmiczne
Odwzorowanie Lamberta	cała kula	-0.3 / +0.4 +39° 0	Obraz całej kuli w kole o promieniu 2R	Mapy półkul Ziemi, mapy kontynentów, tematyczne

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) Lamberta

Nieperspektywiczna azymutalna siatka równopolowa została zaprezentowana w 1772 r. przez szwajcarskiego matematyka, fizyka, astronoma i filozofa Johanna Heinricha Lamberta (1728-1777). Nieperspektywiczność oznacza, że, podobnie jak w przypadku siatki Postela, nie można tego odwzorowania otrzymać w wyniku rzutu geometrycznego. Zasadę konstrukcji siatki Lambert podporządkował warunkowi zachowania zgodności pól powierzchni obrazu i oryginału. Jego sposób postępowania można prześledzić na przykładzie położenia biegunowego płaszczyzny odwzorowawczej. Aby spełnić warunek równopolowości, przyjęto założenie, że pole koła ograniczonego obrazem dowolnego równoleżnika o szerokości geograficznej
jest równe polu powierzchni czaszy kuli opartej na tym równoleżniku (ryć. 24A), czyli:
.

gdzie
jest promieniem obrazu równoleżnika o szerokości geograficznęj
, a H - wysokością czaszy odciętej równoleżnikiem
na kuli ziemskiej.

Zamierzając obliczyć długość promienia, którym należy zakreślić okrąg, aby obraz rów­noleżnika
wyznaczał koło o wymaganej powierzchni, za H, której nie znamy, należy podstawić wartości łatwe do obliczenia. Jeśli .
, to
Z podobieństwa trójkątów OPS i OPA (ryć.24) wynika proporcja OS : OP = OP : OA, a ponieważ OS = 2R, OA = H, OP = c to 2R : c = c : H, czyli c² = 2RH. Porównując
= 2RH i c² = 2RH widzimy, że
= c², czyli
= c, a dalej:

Promienie obrazów równoleżników danych szerokości
w siatce Lamberta w położeniu biegunowym są równe cięciwom między stycznym biegunem a danymi równoleżnikami. Ich długość można obliczyć korzystając ze wzoru 47.

Podobnie jak w przypadku siatki Postela, w tym odwzorowaniu można przedstawić całą kulę. Na rysunku 24 widać, że obrazem bieguna przeciwległego do bieguna styczności jest okrąg o promieniu 2R (z_B = 180°). Tak jak we wszystkich biegunowych siatkach azymutalnych, miejscem zerowego zniekształcenia jest biegun styczności (punkt główny), odwzorowany jako punkt O, który jest jednocześnie wspólnym środkiem koncentrycznych kół - obrazów równoleżników i punktem przecięcia pęku odcinków - obrazów południków, zbiegających się pod takimi samymi kątami jak na kuli ziemskiej. Podobnie jak w siatce ortograficznej, odstępy między obrazami równoleżników maleją w miarę oddalania się od punktu głównego odwzorowania, ale odbywa się to znacznie wolniej. Siatkę Lamberta, przy braku zniekształceń pól powierzchni, cechują stosunkowo niewielkie zniekształcenia liniowe i kątowe, ale tylko obrazu półkuli. Płaski obraz kurczy się w kierunku południków, a wydłuża w kierunku równoleżników, przy czym w miarę zbliżania się do bieguna antypodalnego zniekształcenia długości w kierunku równoleżników znacznie wzrastają. Powierzchnia półkuli mieści się w kole o promieniu:

(48)

co wynika z podstawienia wartości z_B = 90° do wzoru 47.

W poprzecznej siatce azymutalnej równopolowej, tak jak w innych położeniach, zostaje zachowany warunek równości pól powierzchni na płaszczyźnie i na oryginale. Obraz półkuli zawarty jest więc w kole o promieniu R
, a całej kuli ziemskiej - w kole o pro­mieniu 2R. Środkowy południk i równik są odcinkami. Południki wyznaczające zasięg półkuli są półokręgami
łączącymi się w biegunach. Pozostałe południki i równoleż­niki odwzorowują się na krzywe rozmieszczone symetrycznie względem obrazu południka stycznego i równika. Odległości między poszczególnymi południkami na równiku i między równoleżnikami na południku głównym maleją w miarę oddalania się od punktu stycz­ności (ryć. 24B).

W ukośnej siatce Lamberta, podobnie jak w położeniach biegunowym i poprzecznym, półkula odwzorowuje się w kole o promieniu
, a cała kula ziemska - w kole o promie­niu 2R. Obrazem południka styczności jest odcinek prostej. Pozostałe południki mają kształty linii krzywych zbiegających się w punkcie przedstawiającym biegun bliższy punktowi głównemu. Obrazami równoleżników są także linie krzywe. Odległości między nimi na środko­wym południku maleją w miarę oddalania się od centralnego punktu siatki (ryć.24C).

Niezależnie od położenia płaszczyzny odwzorowawczej, przy zachowanych wiernie polach powierzchni, zniekształceniu ulegają długości i kąty Jednak w przeciwieństwie do położenia biegunowego, w położeniach poprzecznym i ukośnym nie analizujemy przebiegu zniekształ­ceń wzdłuż południków i równoleżników (tylko w położeniu biegunowym stanowią one siatkę ortogonalną), ale wzdłuż kierunków głównych siatki jakimi są wertykały i almukantaraty. Ze względu na zachowanie warunku równopolowości siatka Lamberta ma bardzo szerokie zastosowanie, przede wszystkim w kartografii szkolnej. Dzięki niej uczniowie mogą porównywać państwa i kontynenty pod względem rzeczywistej powierzchni. W polskiej kartografii rozpowszechnił tę siatkę Eugeniusz Romer (1871-1954), który stosował ją w atlasach szkolnych i na mapach ściennych. W odwzorowaniu tym często wykonuje się mapy państw i kontynentów oraz planigloby Mimo że - teoretycznie - w siatce Lamberta można przedstawić całą kulę, to ze względu na silne zniekształcenia obszarów leżących powyżej 90° od punktu głównego stosowana jest ona dla każdej półkuli osobno. Odwzo­rowanie równopolowe może być przydatne wszędzie tam, gdzie przedstawiamy zjawiska w ujęciu powierzchniowym.

Odwzorowania azymutalne- normalne. Najprostsza jest charakterystyka siatek azymutalnych w położeniu normalnym (bieguno­wym) (tabela 1). Punkt główny odwzorowania O, stanowiący punkt styczności płaszczyzny odwzorowawczej z kulą ziemską, umiejscowiony jest dokładnie w biegunie, który jest jednocześnie punktem zenitalnym (0=N=Z lub 0=S==Z). Płaszczyzna równika stanowi płaszczyznę horyzontu, a siatka geograficzna złożona z południków i równoleżników tworzy zarazem siatkę wertykałów i almukantaratów. Krzyżujące się w biegunie południki przecinają równoleżniki pod kątem prostym, można zatem powiedzieć, że siatka geograficzna ma charakter siatki ortogonalnej.

Niezależnie od typu odwzorowania azymutalnego, w położeniu biegunowym obrazy południków (będących w tym przypadku wertykałami) zawsze tworzą pęk prostych przecinających się w biegunie. Kąty między obrazami południków na płaszczyźnie rzutów są takie same jak kąty między południkami na kuli ziemskiej (różnice długości geograficznych dwóch punktów na oryginale i w odwzorowaniu są sobie równe; ryć. 18). Równoleżniki (będące w tym położeniu almukantaratami) odwzorowują się na koła koncentryczne względem bieguna (punktu głównego).

Powierzchnią (w/g geometrii różniczkowej) nazywamy zbiór punktów przestrzeni,

których połoŜenie określa w sposób jednoznaczny ciągła i dwukrotnie róŜniczkowalna w

pewnym obszarze (D) funkcja wektorowa r dwóch niezależnych od siebie parametrów u

i v. r_=r_(u,v). r_ = x(u, v)*i_ + y(u, v)*j_ + z(u, v)*k_

r_ = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] nazywamy wektorowym równaniem powierzchni.

Odwzorowaniem wzajemnie jednoznaczne (homeomorficzne) jednej powierzchni na drugą nazywamy kaŜdą jednoznaczną i wzajemną odpowiedniość punktową między powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię oryginału a powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię obrazu. Ponadto funkcje (19) jako odwzorowanie homeomorficzne (jednojednoznaczne) powinny

spełniać warunki:

- każdej parze wartości parametrów u, v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę

wartości parametrów U, V,

- powinny być klasy C2 (dwukrotnie różniczkowalne i ciągłe),

- jakobian (J) odwzorowania musi być różny od zera (funkcje: U i V są wtedy

niezależne):

W odwzorowaniach regularnych: obrazem punktu jest punkt, obrazem krzywej jest

krzywa, koła jest koło, obszaru jest obszar

Odwzorowanie równoodległościowe Postela (Postel 1510-1581, Vespucci 1524, Mercator 1569)

W tym przypadku założymy, że długości w kierunku południków nie ulegają zniekształceniu:

założenie to prowadzi do równania:

Dla punktu p=0 stała C wyniesie C=0, stąd:

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

Geometryczna interpretację tego wzoru

przedstawia rys. 5:

Skale w kierunkach głównych oraz zniekształcenia kątów, długości i pola powierzchni wynoszą:

- zachowanie długości w kierunku południków,

- wydłużenie w kierunku równoleżników,

Zniekształcenie kąta wyniesie:

czyli
- kąty ulegają powiększeniu.

Skala pola będzie równa:
- powiększenie pola powierzchni.

W tym odwzorowaniu można przedstawić całą kulę ziemską, obraz półkuli mieści się w kole o promieniu
.

Odwzorowanie równopolowe Lamberta (Lambert w 1772 r.)

Zakładamy w tym przypadku, że skala pola jest równa jedności stąd:

Wstawiając wyrażenia na a i b otrzymujemy:

Jest to równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Przez rozdzielenie zmiennych otrzymujemy:

Stałą C wyznaczymy z warunku, że r=0 dla p=0

i dalej przekształcając otrzymujemy

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

Wyznaczymy następnie skale w kierunkach głównych

- skrócenie w kierunku południków,

- wydłużenie w kierunku równoleżników,

Zniekształcenie kąta wyniesie:

- co oznacza, że
czyli
- kąty powiększają się.

Skala pola będzie równa:
- czyli pola powierzchni nie ulegną zniekształceniu.

W tym odwzorowaniu można przedstawić całą kulę ziemską, obraz półkuli mieści się w kole o promieniu

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) centralne

Siatka azymutalna centralna, zwana siatką środkową, ortodromową lub gnomoniczną, używana była już w VI w. p.n.e. przez Talesa z Miletu (około 620-547 p.n.e.) do prezentacji map układu gwiazd. Jest to rzut perspektywiczny, w którym promienie rzutujące wychodzą ze środka odwzorowywanej bryły (ryć.19A).

W położeniu normalnym biegun jako punkt styczności O jest punktem, z którego wychodzą linie proste obrazujące południki, a równoleżniki są okręgami współśrodkowymi względem tego bieguna. Obrazem punktu P o szerokości geograficznej
na płaszczyźnie jest punkt P', odległy od punktu styczności o odcinek OP'. Odcinek OP' jest jednocześnie obrazem łuku południka OP i promieniem obrazu równoleżnika punktu P (ryć. 19A).

Matematyczny zapis promienia równoleżnika punktu P' ma postać:

(41)

W tej siatce odległości między równoleżnikami w miarę oddalania się od punktu styczności szybko rosną, zgodnie z funkcją tangens kąta z_B stanowiącego dopełnienie szerokości geograficznej do 90° (ryć.19). Jak widać na rysunku, w tym odwzorowaniu można przedstawić niecałą półkulę (w położeniu normalnym równika nie można zrzutować na płaszczyznę), a zniekształcenia bardzo rosną wraz z odległością od punktu styczności. Ogranicza to zastosowanie siatki centralnej. Cechuje się ona jednak pewną właściwością, której nie posiada żadne inne odwzorowanie: wszystkie łuki kół wielkich, stanowiące najkrótsze odległości między dwoma dowolnymi punktami na kuli ziemskiej (ortodromy), odwzorowują się w niej jako linie proste. Znalazło to zastosowanie przy sporządzaniu map nieba, map morskich, lotniczych i innych map komunikacyjnych. Na mapie wyko­nanej w siatce centralnej, łącząc linią prostą dwie miejscowości stanowiące początek i koniec trasy, uzyskuje się linię ortodromy. W dawnych czasach wykorzystywano ten rzut także przy sporządzaniu zegarów słonecznych (tzw. gnomonów).

Siatka azymutalna centralna w położeniu poprzecznym powstaje w wyniku rzutowania siatki geograficznej na płaszczyznę styczną w dowolnym punkcie równika, a w położeniu ukośnym - na płaszczyznę styczną w punkcie leżącym między biegunem a równikiem. Ze względu na inny punkt styczności, siatki kartograficzne, a więc obrazy południków i równoleżników wyglądają inaczej. Oczywiście, właściwości odwzorowania (m.in. prostoliniowość ortodrom) i jego zastosowanie pozostają takie same, tzn. wykorzystuje się je przede wszystkim do sporządzania map komunikacyjnych. W siatce poprzecznej południki (połowy kół wielkich) są prostymi równoległymi względem siebie (odległości między nimi rosną szybko wraz ze wzrostem odległości od punktu głównego) i prostopadłymi do prosto­liniowego równika (równik też jest kołem wielkim). Wszystkie równoleżniki z wyjątkiem równika odwzorowują się w postaci coraz silniej wygiętych hiperbol. Odstępy między nimi gwałtownie rosną ze wzrostem odległości od punktu głównego (ryć. 19B).

W siatce centralnej ukośnej południki zachowują kształt linii prostych, ale są pękiem wychodzącym z bieguna bliższego punktowi styczności (drugiego bieguna nie można oczywiście przedstawić na płaszczyźnie). Równik, jako koło wielkie, także ma postać linii prostej i jest prostopadły do obrazu południka głównego (tego, na którym leży punkt styczności). W zależności od położenia względem punktu głównego równoleżniki przyj­mują kształt elipsy, hiperboli lub paraboli (ryć.19C).

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) stereograficzne

Rzutem perspektywicznym jest również siatka stereograficzna, w której środek rzutów znajduje się na powierzchni kuli ziemskiej w punkcie przeciwległym (antypodalnym) do stycznej (lub siecznej) płaszczyzny rzutów (ryć. 20A). Jest to siatka równokątna. Jej twórcą był przypuszczalnie Hipparch (około 190-125 p.n.e.), a pierwsze zastosowa­nia to prezentacje nieba.

W odwzorowaniu stereograficznym normalnym (biegunowym) płaszczyzna odwzorowawcza umieszczona jest na jednym z biegunów, więc promienie rzutujące punkty węzłowe siatki geograficznej wychodzą z przeciwległego bieguna. Obrazem punktu P o szerokości geograficznej
jest punkt P' odległy od bieguna stycznego o odcinek OP' (
= OP'). Ten odcinek odpowiada łukowi południka OP (ryć.20A); aby przedstawić obraz dowolnego równoleżnika, należy narysować koło o promieniu
według wzoru:

(4.42)

Półkulę w tej siatce rysujemy w postaci koła o promieniu równym średnicy ziemskiej (
Obwód tego koła jest jednocześnie obrazem równika. Jak widać, w tej siatce nie można przedstawić samego punktu rzutowania (bieguna antypodalnego), nie można więc pokazać świata w całości.

Podsumowując: obrazami równoleżników w położeniu biegunowym są koncentryczne okręgi ze wspólnym środkiem w biegunie styczności. Odstępy między obrazami równoleżników rosną wraz ze wzrostem odległości od punktu głównego, ale odbywa się to mniej gwałtownie niż w siatce centralnej (zniekształcenia odległości i powierzchni rosną od środka na zewnątrz siatki). Południki tworzą pęk prostych przecinających się w biegunie styczności pod takim samym kątem A'k jak na kuli ziemskiej. Obrazy południków i równoleżników, tak jak na kuli, przecinają się pod kątami prostymi, są więc tym samym kierunkami głównymi odwzorowania. Przyrost odstępów między poszczególnymi równoleżnikami na danym południku oraz przyrost odstępów między południkami na tych równoleżnikach jest taki sam. Oznacza to, że zniekształcenia w kierunku a i b są identyczne. Siatka azymutalna stereograficzna jest odwzorowaniem równokątnym, ponieważ spełnia warunek równokątności a = b.

Odwzorowanie stereograficzne ma także inną szczególną właściwość. Dowolne koło znajdujące się na powierzchni kuli odwzo­ruje się zawsze na koło, niezależnie od po­łożenia płaszczyzny rzutów. W siatce stereograficznej promienie rzutu­jące wychodzą z punktu antypodalnego O_p względem punktu styczności O. Zobaczmy, na jaką figurę odwzoruje się na płaszczyźnie dowolne koło o średnicy AB znajdujące się na powierzchni kuli. Z podobieństwa trójkątów OBO_p i OB'O_p wynika, że kąt OB'O_p jest taki sam jak kąt O OB. Kąty O_pOB i O_pAB, jako kąty obwodowe wspierające się na tej samej cięciwie BO_p, także są sobie równe, można więc powiedzieć, że kąt _OB'Op jest równy kątowi O_pAB. KołoAB i figura A'B' są zatem przeciwległymi przekrojami eliptycznego stożka, tzn. jeden z nich jest tak samo nachylony do jednego boku, jak drugi do boku przeciwległego. W tej sytuacji koło AB i figura A'B' tworzą figury podobne, a to oznacza, że figura A'B' jest również kołem.

W poprzecznej siatce stereograficznej płaszczyzna rzutowania jest styczna do powierzchni kuli w dowolnym punkcie równika, a punkty węzłowe siatki geograficznej rzutowane są na nią promieniami wychodzącymi z punktu położonego także na równiku, ale przeciwległe do punktu styczności. Równik i środkowy (styczny) południk odwzorują się jako linie proste, dzieląc siatkę na cztery symetryczne części. Pozostałe południki i równoleżniki odwzorują się jako łuki kół niewspółśrodkowych, których promienie maleją w miarę oddalania się od punktu styczności. Oczywiście, odległości między równoleżnikami na środkowym południku i między południkami na równiku zwiększają się w takim samym stopniu. Bieguny są punktami (ryć. 20B).

W siatce stereograficznej ukośnej obraz uzyskujemy przez rzutowanie punktów węzłowych siatki geograficznej na płaszczyznę styczną na sferze w dowolnym punkcie między równikiem a biegunem, promieniami wychodzącymi z punktu leżącego antypodalnie do punktu styczności. Niezależnie od położenia płaszczyzny stycznej, obraz półkuli mieści się w kole o promieniu 2R. Bieguny odwzorowują się w postaci punktów, a równoleżniki i południki - w postaci okręgów lub łuków kół niewspółśrodkowych, z wyjątkiem dwóch linii siatki - linii prostych, które są obrazami południka styczności i równoleżnika leżącego przeciwstawnie do równoleżnika styczności (np. jeśli punkt styczny leży na równoleżniku
= 50°, to linią prostą będzie obraz równoleżnika
= - 50°, ponieważ właśnie położony jest środek rzutów, a promienie rzutujące leżą w płaszczyźnie rzutowanego elementu). Odległości między równoleżnikami i południkami rosną w tej siatce w miarę oddalania się od punktu głównego (ryć. 20C).

Odwzorowanie stereograficzne początkowo znalazło zastosowanie w astronomii przy sporządzaniu map sklepienia niebieskiego. W połowie XVI w. wykorzystywano je do przedstawienia planiglobów (dwie półkule w położeniu poprzecznym). Z czasem rozszerzono zastosowanie na prezentację obszarów okołobiegunowych, kontynentów i innych regionów o zbliżonym do koła. Ze względu na równokątność zaczęto je stosować do opracowania map topograficznych. W celu uzyskania lepszego rozkładu zniekształceń najczęściej używana jest wówczas siatka stereograficzna rzutowana na płaszczyznę sieczną.

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) ortograficzne

Do grupy rzutów perspektywicznych należy także odwzorowanie ortograficzne. Powstaje ono wówczas, gdy punkty węzłowe siatki geograficznej rzutowane są na płaszczyznę promieniami wychodzącymi z punktu znajdującego się w nieskończoności, co oznacza, że promienie rzutujące są równoległe i padają prostopadle na płaszczyznę rzutów (ryc.22A). Siatkę stosowano początkowo w pracach związanych z astronomią i geometrią jej już greccy uczeni Apoloniusz z Pergi (około 260-190 p.n.e.) i Hipparch (patrz siatka stereograficzna). Najstarsze mapy świata wykonane w tym odwzorowaniu (w położeniu biegunowym i poprzecznym) pochodzą z przełomu XV i XVI w, a zawdzięczamy je znanemu niemieckiemu artyście Albrechtowi Durerowi (1471-1528).

Obrazy południków w siatce ortograficznej w położeniu biegunowym (normalnym) tworzą pęk odcinków przecinających się w punkcie głównym O odwzorowania, którym jest biegun styczności. Równoleżniki są współśrodkowymi okręgami o rzeczywistych długościach (oczywiście wyrażonych w skali), ponieważ ich promienie mają taką samą długość jak promienie równoleżników na globusie:

Aby narysować siatkę azymutalną ortograficzną w położeniu poprzecznym, należy płaszczyznę, na którą rzutujemy punkty węzłowe siatki geograficznej, umieścić stycznie do równika. Sposób rzutowania jest taki sam jak w położeniu normalnym, ale w związku z innym umiejscowieniem płaszczyzny odwzorowawczej powstaje zupełnie inny obraz południków i równoleżników. Promienie rzutujące prostopadłe do płaszczyzny rzutu są równoległe do płaszczyzny równika, a zatem wszystkie równoleżniki i równik odwzorują się na odcinki równoległe do siebie, o długościach równych średnicom tych równoleżników na kuli. Środkowy południk w siatce jest odcinkiem o długości średnicy kuli ziemskiej 2R. Skrajne południki półkuli są półokręgami zbiegającymi się w biegunach; tworzą okrąg o promieniu równym promieniowi ziemskiemu R. Pozostałe południki odwzorowują się jako elipsy, których duże osie pokrywają się z obrazem południka punktu głównego. Obraz tego południka i obraz równika dzielą siatkę na cztery symetryczne części (podobnie jak w pozostałych siatkach azymutamych w położeniu poprzecznym). Odległości między równoleżnikami na południku styczności szybko maleją w miarę oddalania się od równika. Tak samo zachowują się odległości między południkami na równiku i równoleżnikach - gwałtownie maleją w miarę oddalenia od środkowego południka (ryć.22B).

Ortograficzna siatka azymutalną w położeniu ukośnym tworzy obraz, jaki widzimy z dużej odległości na nachylonym pod pewnym kątem globusie. Oczywiście i w tym położeniu można odwzorować jedynie półkulę. Siatka ukośna także ma kształt koła o promieniu kuli ziemskiej (R w skali). Południk środkowy odwzorowuje się jako odcinek dzielący siatkę kartograficzną na dwie symetryczne części. Pozostałe południki, równik i równoleżniki są przedstawione w postaci elips lub ich fragmentów (ryć.22C).

Odwzorowanie ortograficzne nie znajduje szerszego zastosowania ze względu na znaczne zniekształcenia długości, pól i kątów, nie odznacza się także szczególnymi zaletami. W siatce ortograficznej Ziemia przyjmuje wygląd ciała niebieskiego oglądanego z bardzo dużej odległości. Ze względu na możliwość plastycznego pokazania sferyczności powierzchni Ziemi czy innych ciał niebieskich, siatka ta używana jest w kartografii do opracowania map Księżyca i planet oraz do ilustracji astronomicznych podstaw geografii, np. do ilustracji ruchu obiegowego Ziemi i zmian jej oświetlenia w różnych porach roku.

Istnieją także odwzorowania nieperspektywiczne, tworzone nie przez rzutowanie, lecz dzięki założeniu z góry określonych warunków matematycznych, jakie ma spełniać płaski obraz. Do tej grupy siatek azymutamych należą odwzorowania równodługościowe Postela i równopolowe Lamberta. Zyskały one ogromną popularność.

r(p)

P

Rys. 6

r(p)

P′

B

r(p)

P

Rys. 5

r(p)

P′

B

---