§ 14. Całki niewłaściwe

Całki niewłaściwe to całki o granicach nieskończonych lub funkcji nieograniczonych.

14.1 Całki o granicach nieskończonych

Niech funkcja f będzie określona na przedziale nieskończonym
oraz całkowana w sensie Riemanna na każdym przedziale skończonym <a,A>, gdzie

Definicja: Całkę funkcji f o granicach a, +∞ nazywamy wielkość postaci:
(1) gdy przy założeniu, że powyższa granica jest skończona lub nieskończona w przypadku gdy granice (1) jest skończona mówimy, że całka (1) jest zbieżna, z funkcja f całkowana na przedziale <a, ∞). Jeżeli granica (1) jest nieskończona to mówimy, że całka (1) jest rozbieżna.

Podobnie definiujemy całki:

określa się też całkę
gdzie A nie zależy od A^| .

Przykłady:

1. Znaleźć
   

2. Zbadać zbieżność całki
   gdzie a>0,
   

3. Znaleźć V i pole powierzchni bocznej bryły otrzymanej przez obrót hiperboli x*y=1 dookoła osi OX, gdzie
   

Twierdzenie 1 - Na to by całka
gdzie f(x)≥0 dla x≥a, była zbieżna potrzeba i wystarcza by był spełniony warunek

Twierdzenie 2 (kryterium porównawcze)

Jeżeli dla x≥A≥a zachodzą nierówności 0≤f(x) ≤g(x) wynika zbieżność całki
wynika zbieżność całki
a, z rozbieżności całki
wynika rozbieżność całki
.

Dowód: Ponieważ na rozbieżność całki
nie ma wpływu całka c więc wystarczy badać zbieżność całki
. Ponieważ dla x≥A≥a mamy 0≤f(x) ≤g(x) więc korzystając z własności całki Riemana otrzymujemy:
gdy
. Zatem przechodząc do granicy przy
otrzymujemy
. Jeżeli założymy, że całka
jest rozbieżna z nierówności
przy dowolnym
wynika, że całka
(jest rozbieżna)

Twierdzenie 3.

Jeżeli istnieje granica
dla
, g(x)>0 przy
to ze zbieżności całki
wynika zbieżność
, gdy k<∞ a z rozbieżności całki
przy k>∞ wynika rozbieżność całki

Dowód:

1. niech k<∞ zakładamy, że całki
   (zbieżna) Ponieważ
   więc dla x>A mamy
   =>
   Stąd na podstawie twierdzenia w całka
   jest zbieżna

2. niech k>0 oraz
   Ponieważ
   więc
   Podobnie jak w a. otrzymujemy oszacowanie
   lub
   
   dla x≥A^| z twierdzenia 2 wynika więc rozbieżność całki
   

Badając zbieżność
gdzie f(x)≥0 jest nieujemne dla x≥a można obrać konkretną funkcje
, która jest całkowana gdy a>0,
oraz nie jest całkowana, gdy a>0,
i stosować kryterium porównawcze.

Twierdzenie 4 (Cauchy)

Niech funkcja f ma dla dostatecznie dużych X postać
,

Wtedy:

1. jeżeli
   
   oraz
   to całka
   jest rozbieżna

2. jeżeli
   oraz
   to całka
   jest rozbieżna

W przypadku gdy funkcja podcałkowa zmienia znak stosujemy następujące twierdzenie 5.

Twierdzenie 5 (Cauchy)

Na to by całka
była zbieżna potrzeba i wystarcza by był spełniony warunek
Jeżeli zbieżna jest całka
, to całka
nazywa się bezwzględnie zbieżna

Z twierdzenia 5 wynika, że jeżeli zbieżna jest całka
to zbieżna jest całka
. Istnieją całki zbieżne, które nie są bezwzględnie zbieżne. np.
Całkę
nazywamy warunkowo zbieżną gdy jest zbieżna, ale nie jest bezwzględnie zbieżna.

Twierdzenie 6. (Kryterium Abela)

Niech funkcje f,g będą określone na przedziale <a, ∞), jeżeli:

1. funkcja f jest całkowalna na <a, ∞)

2. funkcja g jest monotoniczna i ograniczona
   to całka
   jest zbieżna

Twierdzenie 7. (Kryterium Dirichleta)

Niech funkcje f,g będą określone na przedziale <a, ∞) jeżeli

1. funkcja f jest całkowalna na każdym przedziale skończonym <a,A> oraz
   

2. funkcja g jest ograniczona i zbieżna monotonicznie do zera przy
   , to całka
   jest zbieżna

Przykład : Zbadać zbieżność całki
, a>0

14.2 Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych.

Niech funkcja f będzie ograniczona i całkowana w sensie Riemanna na każdym przedziale
gdzie
oraz nieograniczona w każdym przedziale
. Wtedy punkt b nazywamy punktem osobliwym funkcji f np. funkcje:
ma punkt osobliwy
. Całką funkcji f w granicach a, b a<b nazywamy wielkość

(1)
przy założeniu, że granica ta jest skończona lub nieskończona. W przypadku,, gdy granica (1) jest skończona mówimy, że całka (1) jest zbieżna, a funkcja f jest całkowalna na przedziale <a,b>

Jeżeli granica (1) jest nieskończona, to mówimy że całka (1) jest rozbieżna. Analogicznie określamy całkę
gdy funkcja ma punkt osobliwy x=a.

Ogólnie można rozważać przypadek, gdy funkcja f ma w przedziale <a,b> skończoną liczbę punktów osobliwych: c₀,c₁,....c_n w otoczeniu których f jest nieograniczona oraz f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale, który nie zawiera punktów osobliwych. Np. Dla
mamy:
przy czym
są wzajemnie niezależne.

Podobnie jak w przypadku całek w przedziałach nieskończonych wykazujemy następujące twierdzenia. Zakładamy, że x­₀=b jest punktem osobliwym funkcji f.

Twierdzenie 8.

Na to by zbieżna była całka niewłaściwa (1) z funkcji nieujemnej f potrzeba i wystarcza by był spełniony warunek.

Twierdzenie 9. (Kryterium porównawcze)

Jeżeli dla
zachodzi nierówność 0≤f(x) ≤g(x) to ze zbieżności całki
wynika zbieżności całki
a z rozbieżności całki
wynika rozbieżność całki
.

Przykład zbadać zbieżność całki

Twierdzenie 10.

Jeżeli
gdzie f(x)≥0 dla xε<a,b> 0≤k≤∞ to przy
gdzie
jest zbieżna, gdy k<∞ oraz całka
jest rozbieżna przy
oraz K>0

Twierdzenie 11. (Cauchy)

Niech funkcja f ma dla x dostatecznie ........... (granicy górnej) b postać
wtedy:

1. Jeżeli
   oraz
   to całka
   jest zbieżna

2. Jeżeli
   oraz
   to całka
   jest rozbieżna

Dla funkcji f zmieniającej znak na przedziale <a,b> stosujemy:

Twierdzenie 12. (Cauchy)

Na to by całka
, gdzie ... jest punktem osobliwym, była zbieżna potrzeba i wystarcza by był spełniony warunek:
z twierdzenia 12 wynika, że jeżeli jest zbieżna całka
to jest zbieżna całka
. Mówimy wtedy, że całka bezwzględnie zbieżna jest zbieżna.

. Niech na przedziale <a,b> będzie określona funkcja f mająca dokładnie jeden punkt osobliwy
oraz całkowana w sensie Riemanna w każdym podprzedziale przedziału <a,b>, który nie zawiera punktu osobliwego c.

Wtedy
przy założeniu istnienia granicy właściwej lub niewłaściwej. Wartością główną całki niewłaściwej
nazywamy wyrażenie
przy założeniu istnienia granicy w sensie właściwym lub niewłaściwym. (V.p. -„Valeur pricipale”)

Mówimy wtedy, że całka
istnieje w sensie wartości głównej.

Jeżeli całka
istnieje jako całka niewłaściwa to zawsze istnieje jej wartość główna. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

14.3 Kryterium całkowania zbieżności szeregów liczbowych.

Twierdzenie 13.

Dany jest szereg liczb
niech f jest funkcją określoną na przedziale <1,∞), ciągłą, dodatnią, malejącą. Szereg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżna jest całka niewłaściwa

Dowód: Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej wynika, że dla n=1,2,.....

Z monotoniczności f wynika, że
Z kryterium porównawczego zbieżności szeregów wynika, że szereg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest szereg
Ponieważ

Więc

Przykład: Zbadać zbieżność szeregu harmonicznego

Rozwiązanie:
, Ponieważ całka
jest zbieżna, gdy
oraz rozbieżna gdy
więc szereg harmoniczny
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy
.

ROZDZIAŁ IV MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

1. MACIERZE, WYZNACZNIKI

Macierzą prostokątną o wymiarze
lub o m wierszach i n kolumnach nazywamy funkcję dwóch zmiennych postaci:

=
,

przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze (j;k), gdzie

, liczbę zespoloną a_jk.

Macierz nazywamy kwadratową, jeżeli
. Wtedy liczbę n nazywamy stopniem macierzy. Jeżeli w macierzy
zamienimy wiersze na kolumny to otrzymujemy tzw. macierz transponowaną:
.

Elementy a₁₁, a₂₂,..., a_nm tworzą tzw. przekątną główną.

Macierz kwadratową nazywamy diagonalną, jeżeli
, czyli poza przekątną główną występuje tylko 0. W szczególności, jeżeli w macierzy diagonalnej
, dla każdego j = 1,2,...,n, to macierz taką nazywamy jednostkową i oznaczamy przez I, czyli

I =
.

DZIAŁANIA NA MACIERZACH:

1. Dodawanie macierzy:

Dwie macierze A, B można dodać, gdy są tego samego wymiaru. Wtedy, jeżeli:

to:

.

2. Mnożenie macierzy przez liczbę:

Jeżeli
- liczba rzeczywista lub zespolona, to:
.

3. Mnożenie macierzy przez macierz:

Macierz A można pomnożyć przez macierz B wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Jeżeli:
to iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz:

Dodawanie macierzy jest przemienne, tzn. A+B=B+A.

Mnożenie macierzy nie jest przemienne tzn.

Zachodzą następujące nierówności:

1. 
   
   
   - łączność mnożenia macierzy.

2. 
   

3. 
   

WYZNACZNIKI:

Niech a₁, a₂, ..., a_n będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych różnych między sobą. Mówimy, że para wyznaczników tego ciągu
tworzy inwersję, jeżeli:
.

DEFINICJA WYZNACZNIKA:

Dana jest macierz kwadratowa:

Tworzymy dowolną permutację
liczb naturalnych: 1,2,3,...,n. Niech
oznacza ilość inwersji w permutacji f.

Wyznacznikiem macierzy
nazywamy liczbę:

det
,

przy czym przyjmujemy ze względu na wszystkie permutacje liczb naturalnych: 1,2,...

Stopniem wyznacznika detA nazywamy stopień macierzy.

Bezpośrednio z definicji wyznacznika macierzy kwadratowej otrzymujemy:

Wyznacznik trzeciego stopnia można wyliczyć stosując tzw. schemat Sarrusa:

WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW:

1. Rozwinięcie Laplace'a

Minorem macierzy prostokątnej A nazywamy wyznacznik detM macierzy M, która powstała przez skreślenie w macierzy A pewnej liczby wierszy i kolumn tak, aby elementy nie skreślone tworzyły macierz kwadratową M.

Jeżeli w macierzy kwadratowej A stopnia n skreślimy j-ty wiersz oraz k-tą kolumnę to otrzymany minor będziemy oznaczać:
.

Dopełnieniem algebraicznym elementu
macierzy kwadratowej A nazywamy liczbę:
.

TWIERDZENIE 1:

Dla wyznacznika macierzy kwadratowej:

A=

Ma miejsce następujące rozwinięcie Laplace'a:

,

gdzie
,
.

2. Wyznacznik, w którym jeden wiersz lub jedna kolumna składa się z samych zer, równa się zero.

3. Wyznacznik macierzy kwadratowej A jest równy wyznacznikowi jej macierzy przestawionej
   tzn.:

.

4. Jeżeli macierz B stopnia
   z powstaje z macierzy A przez zamianę dwóch kolumn lub wierszy, to wyznacznik:

.

5. Jeżeli w macierzy A dwie kolumny lub dwa wiersze są jednakowe to:

6. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów danego wiersza lub kolumny przez stałą c, to:

.

7. Wyznacznik nie zmienia wartości, gdy do elementów danej kolumny (lub wiersza) dodać odpowiednie elementy innej kolumny (lub wiersza) pomnożone przez dowolną ustaloną stałą.

2. WZORY CRAMERA

Układ n równań liniowych o n niewiadomych
postaci:

,

gdzie
, są liczbami rzeczywistymi, nazywamy układem Cramera, jeżeli:

.

Macierz
nazywamy macierzą układu (1), a detA wyznacznikiem układu (1).

Macierzą kwadratową A taką, że
nazywamy macierzą nieosobliwą.

Rozwinięciem układu (1) nazywamy każdy układ liczb
spełniający (1).

TWIERDZENIE 1 (tw. Cramera):

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to ma postać:
,

gdzie
jest macierzą, która powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny przez liczby
.

UWAGA!

Jeżeli układ równań liniowych ma postać:

,

to układ Cramera ma tylko rozwiązanie zerowe, tzn.:

.

3. OGÓLNY UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCH

Dana jest macierz prostokątna:

o wymiarach
.

DEFINICJA: Rzędem macierzy nazywamy najwyższy ze stopni tych jej minorów, które są różne od zera. Liczbę tą oznaczamy symbolem: rzA.

Dany jest układ m równań liniowych o n niewiadomych:

,

gdzie
, są liczbami rzeczywistymi.

Dla układu (1) budujemy dwie macierze:

.

Rozwiązaniem układu (1) nazywamy każdy układ liczb
spełniający (1).

TWIERDZENIE 1 (Kromecker-Cepelli):

Na to, by układ (1) miał rozwiązanie należące do zbioru R, potrzeba i wystarcza, by:

.

TWIERDZENIE 2:

Na to, by układ (1) miał dokładnie jedno rozwiązanie, potrzeba i wystarcza, by:

,

n - ilość zmiennych.

Dwa układy równań liniowych nazywamy układami równoważnymi, jeżeli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i na odwrót.

Niech układ (1) posiada rozwiązanie oraz niech
. Zakładamy, że M jest minorem stopnia r macierzy A różnym od zera.

Jeżeli z układu (1) skreślimy te równania, których współczynniki nie wchodzą w skład minora M, to można wykazać, że otrzymany w ten sposób układ jest równoważny układowi (1).

Niech macierz A ze współczynników przy niewiadomych układu postaci:

, ma rząd
.

Wówczas wszystkie rozwiązania układu (2) otrzymamy przyjmując dla (n-r) niewiadomych dowolne wartości, a pozostałe niewiadome obliczając ze wzorów Cramera.

Kilka ogólnych uwag o skrypcie.

1. W niektórych paragrafach 10, 13, 14 brakuje przykładów ilustrujących ważne twierdzenia i definicje - no cóż brakło czasu

2. Z góry przepraszamy za wszystkie gafy powstałe przy przepisywaniu wykładów, mamy nadzieję, iż będą to tylko literówki i nie spowodują żadnych błędów merytorycznych

3. Chcielibyśmy podziękować Łukaszowi Markowskiemu za udostępnienie wzorowo prowadzonych notatek - dzięki Luk !

4. Wierzymy, że wszyscy razem spotkamy się w III semestrze.

64

- rozdzielność mnożenia względem dodawania

---