Wykład 8. Metody dekompozycji szeregu czasowego

Metody indeksowe (p. wykład 7) pozwoliły określić jak zmienia się zjawisko w czasie (o ile procent poziom zjawiska wzrastał lub obniżał się). Do określenia dlaczego zmienia się ono w określony sposób służą metody dekompozycji szeregu czasowego.

Metody te pozwalają zbadać, czy występują jakieś prawidłowości zachodzących w czasie zmian, czyli odkryć przyczyny rządzące rozwojem zjawiska. To z kolei umożliwi przewidzieć przyszłe zmiany.

Dekompozycja szeregu czasowego polega na wyodrębnieniu w szeregu czasowym elementów składowych (czynników) oddziałujących na poziom zjawiska. Poszczególne elementy składowe są skutkiem oddziaływania różnych przyczyn.

Wyodrębnia się 3 podstawowe składniki szeregu czasowego. Są nimi:

• tendencja rozwojowa (inaczej trend), oznaczająca powolne i systematyczne zmiany poziomu badanego zjawiska (wzrost lub spadek), np. stały wzrost abonentów telefonii komórkowej. Jest ona następstwem przyczyn głównych - oddziałujących stale na zjawisko i wytyczających ogólny kierunek zmian jego poziomu;

• wahania okresowe (inaczej sezonowe, periodyczne, cykliczne lub regularne) - powtarzające się rytmicznie w ściśle ustalonych odstępach czasu, np. dobowych, tygodniowych, miesięcznych, kwartalnych itp. (np. mniejsze zużycie energii elektrycznej w godzinach nocnych, wyższe obroty supermarketów pod koniec tygodnia). Wahania te mogą mieć stałą amplitudę wahań (niezależną od poziomu zjawiska) lub zmienną amplitudę wahań (rosnącą lub malejącą wraz z poziomem zjawiska). Wahania okresowe wynikają z przyczyn okresowych - pojawiających się systematycznie co pewien czas;

• wahania przypadkowe (inaczej losowe lub nieregularne) - powodujące odstępstwa od wahań regularnych. Wywołane są one przyczynami losowymi (np. klęski żywiołowe, kryzys gospodarczy)

Rys. 1

Przykład

Koszty działalności operacyjnej (w tys.zł) w firmie X w półroczach 2000-2003.

Rok	Półrocze	Koszty działalności operacyjnej (tys.zł)
2000	I II	15 12
2001	I II	18 13
2002	I II	19 16
2003	I II	26 17

1. Wyodrębnianie tendencji rozwojowej

- można dokonać 2 metodami

1. metodą mechaniczną

2. metodą analityczną.

Metoda mechaniczna polega na wygładzeniu szeregu czasowego za pomocą tzw. średnich ruchomych. W zależności od tego, ile podokresów bierzemy pod uwagę przy liczeniu średnich ruchomych, wyróżniamy:

• średnie ruchome zwykłe

• średnie ruchome scentrowane

Średnie ruchome zwykłe stosuje się zazwyczaj gdy nie występują wahania okresowe.

Do obliczania takiej średniej przyjmuje się najczęściej nieparzystą liczbę podokresów (np. średnie 3-okresowe, średnie 5-okresowe, średnie 7-okresowe, itd.)

Średnie ruchome zwykłe 3-okresowe:

Czyli ciąg ŚRZ 3-okresowych będzie miał postać:

.

.

.

Średnie ruchome zwykłe 5-okresowe:

7-okresowe, itd.

Przykład (p.Wykład 7):

Rok	Liczba pracowników	Średnie ruchome 3-okresowe
t	yt
2001 2002 2003 2004 2005 2006	323 320 329 346 422 386	- -

(skrócenie szeregu o 2 okresy)

Rys.: Szereg pierwotny i szereg wygładzony

Średnie ruchome scentrowane stosuje się zwykle, gdy łącznie z trendem występują oprócz wahań przypadkowych, wahania okresowe.

Najlepiej wygładzają szereg średnie ruchome o długości sekwencji równej liczbie podokresów w pełnym cyklu wahań, czyli:

2-okresowe przy wahaniach półrocznych,

4-okresowe przy wahaniach kwartalnych,

12-okresowe przy wahaniach miesięcznych, itp.

Średnie ruchome scentrowane 2-okresowe (tj. dla wahań półrocznych)

Czyli ciąg tych średnich będzie miał postać:

.

.

.

Średnie ruchome scentrowane 4-okresowe (tj. dla wahań kwartalnych):

Przykład

Rok	Półrocze	Koszty działalności operacyjnej (tys.zł)	Średnie ruchome scentrowane 2-okresowe
2000	I II	15 12	-
2001	I II	18 13
2002	I II	19 16
2003	I II	26 17	-

Metoda analityczna wyodrębniania trendu polega na znalezieniu odpowiedniej funkcji obrazującej kształtowanie się analizowanego zjawiska względem czasu

Do wyznaczenia funkcji trendu wykorzystuje się podejście właściwe analizie regresji.

Funkcję trendu traktujemy jak funkcję regresji, w której zmienną niezależną (oznaczaną t) jest czas.

Czyli:

(gdy trend jest liniowy)

- wyraz wolny

- współczynnik trendu

t - zmienna czasowa

Parametry tej funkcji szacuje się przy pomocy MNK.

(Jako wartości empiryczne zmiennej czasowej wprowadza się kolejne numery okresów, czyli)

Rok	Półrocze	Numer okresu (zmienna czasowa) t	Koszty działalności operacyjnej (tys.zł) y
2000 2001 2002 2003	I II I II I II I II	1 2 3 4 5 6 7 8	15 12 18 13 19 16 26 17

Współczynnik trendu
.

Oznacza to, że koszty działalności operacyjnej rosną systematycznie z okresu na okres (u nas z półrocza na półrocze) przeciętnie o 1 tys.zł.

2. Wyodrębnianie wahań okresowych (sezonowych)

Metody wyodrębniania wahań sezonowych różnią się w zależności od tego czy współwystępują z trendem, oraz od amplitudy wahań.

A. Przypadek szeregu czasowego bez wyraźnego trendu oraz ze stałą amplitudą wahań (tzw. wahania addytywne)

Wówczas wahania okresowe wyodrębniamy obliczając tzw. wskaźniki wahań okresowych (inaczej wskaźniki sezonowości):

gdzie:

- wskaźnik wahań okresowych,

- średni poziom zjawiska dla całego badanego okresu,

- średni poziom zjawiska dla i-tego podokresu,

czyli:

dla danych półrocznych,

dla danych kwartalnych,

dla danych dziennych,

dla danych miesięcznych,

itd.

Wskaźnik O_i pomnożony przez 100% informuje, ile procent ogólnej średniej stanowi średni poziom zjawiska w i-tym podokresie.

8

tendencja

rozwojowa

---