ANALIZA WAHAŃ OKRESOWYCH

Wahania okresowe są to zmiany poziomu zjawiska w czasie, powtarzające się regularnie w kolejnych cyklach.

Np.: obserwując zmiany natężenia ruchu drogowego, mierzone liczbą przemieszczających się samochodów osobowych na wyznaczonej trasie,

1. w cyklu dobowym (d = 24) możemy stwierdzić występowanie wahań, gdyż więcej samochodów jeździ w godzinach dojazdów i powrotów z pracy,

2. w cyklu tygodniowym (d = 7) - gdyż większy ruch obserwuje się w dni robocze, mniejszy w wolne od pracy,

3. w cyklu rocznym (d = 12 lub d = 4) - gdyż bardzo duży ruch może występować na tej trasie w miesiącach letnich i stosunkowo niewielki w porze zimowej.

Wahania sezonowe - to szczególny przypadek wahań okresowych występujących w cyklu rocznym. Zjawisko sezonowości jest związane z występowaniem pór roku.

Wahania sezonowe są kształtowane przede wszystkim przyczynami o charakterze przyrodniczym. Przyczyny ekonomiczne, organizacyjne czy społeczne mają na ogół charakter wtórny w stosunku do pór roku.

W zjawiskach ekonomicznych, a także niektórych społecznych, sezonowość jest zazwyczaj zjawiskiem niepożądanym. Należy zatem dążyć do tego, by je usunąć, lub przynajmniej osłabić jego wpływ. Szansa na skuteczność tego typu działania jest tym większa, im lepiej poznamy i dokładnie zmierzymy natężenie wahań sezonowych.

W szeregach czasowych, w których zjawiska są rejestrowane według miesięcy lub kwartałów, ich poziom z reguły jest określony przez tendencję rozwojową, wahania sezonowe i wahania przypadkowe. Chcąc wyodrębnić składnik sezonowy, należy wyeliminować z szeregu czasowego wpływ tendencji rozwojowej (jeżeli ona występuje) i wahań przypadkowych. Istnieje wiele metod, które pozwalają na wyodrębnienie czystego składnika sezonowości i jego charakterystykę za pomocą miar zwanych wskaźnikami sezonowości. Ocenę sezonowości można przeprowadzić na podstawie obserwacji kilku cykli rocznych (najmniej 3 cykle).

Wskaźniki sezonowości

1. w postaci liczb względnych, najczęściej wyrażonych w procentach,

2. w postaci liczb absolutnych, wyrażonych w tych samych jednostkach miary co badane zjawisko.

Sezonowość multiplikatywna - ma miejsce wówczas, gdy amplituda wahań w szeregu czasowym zmienia się, a przez to są zachowane stałe relacje poziomu zjawiska w jednoimiennych podokresach w stosunku do linii trendu - wskaźniki względne.

Sezonowość addytywna - ma miejsce w tych szeregach, w których amplituda wahań jest stała, co oznacza stałą wielkość różnic w stosunku do trendu w okresach jednoimiennych - wskaźniki absolutne.

Z praktycznego punktu widzenia powyższe rozróżnienie nie ma zbyt dużego znaczenia, ponieważ:

• w wielu wypadkach trudno ocenić rodzaj wahań;

• w ocenie sezonowości w równym stopniu są przydatne oba sposoby opisu - w postaci liczb absolutnych i w postaci liczb względnych.

Metody analizy sezonowości:

I. metoda bez eliminacji trendu odnosząca wahania sezonowe do średniego poziomu zjawiska;

II. metoda eliminująca wpływ trendu poprzez odnoszenie wahań sezonowych do wartości szeregu wygładzonego.

I. METODA

1. obliczanie średnich jednoimiennych okresów (
   ),

2. obliczanie względnych wskaźników sezonowości dla okresów jednoimiennych:

gdzie: i - wyróżnione podokresy w cyklu rocznym (i = 1, 2, ..., d)
tzw. okresy jednoimienne;

- średnie arytmetyczne wartości z okresów jednoimiennych;

- średnia ogólna (suma wszystkich wartości przez ich liczbę lub średnia ze średnich jednoimiennych):

3. obliczanie absolutnych wskaźników sezonowości dla jednoimiennych okresów:

Sumy wskaźników sezonowości są wielkościami stałymi:

4. ocena wielkości wahań przypadkowych i ich wpływu na poziom badanego zjawiska -odchylenie standardowe składnika resztowego (średni błąd szacunku):

P. 2. Obliczanie wskaźników sezonowości produkcji energii elektrycznej w Polsce (w tys. GW-h) dla danych miesięcznych w latach 1991-1993 (źródło: Biuletyn Statystyczny GUS 1992,nr 1, 1994, nr1).

Miesiąc	1991	1992	1993	Średnie jednoimienne	Względne wskaźniki sezonowości WSi^*	Absolutne wskaźniki sezonowości ASi^*
I	13 962	13 354	13 371	13 562	121,94	2 440
II	12 941	12 240	12 239	12 473	112,15	1 351
III	12 796	12 476	12 773	12 682	114,02	1 560
IV	11 275	10 999	10 731	11 002	98,92	-120
V	10 577	9 579	9 253	9 803	88,14	-1 319
VI	9 173	8 965	8 929	9 022	81,12	-2 100
VII	8 979	9 005	8 721	8 902	80,04	-2 220
VIII	9 025	8 963	9 144	9 044	81,32	-2 078
IX	9 282	9 742	9 829	9 618	86,47	-1 504
X	11 239	12 034	11 467	11 580	104,12	458
XI	12 093	12 289	13 035	12 472	112,14	1 350
XII	13 268	13 189	13 465	13 307	119,65	2 185
Suma	134 610	132 835	132 957	x	1 200,03	0

Średnia miesięczna
GW-h.

A. Średnie jednoimiennych podokresów pokazują, że najwięcej energii elektrycznej wytwarza się w miesiącach zimowych - styczniu i grudniu, natomiast najmniejszy poziom produkcji występuje od czerwca do sierpnia.

B. Względne wskaźniki sezonowości liczone według wzoru (4.58) informują, o ile procent różniła się średnio wielkość produkcji w poszczególnych miesiącach od ogólnej średniej miesięcznej (11122 GW-h), która jest traktowana jako 100%. A zatem w styczniu w latach 1991-1993 produkcja energii była średnio o 22% wyższa od średniej miesięcznej dla tych lat, w lutym była wyższa średnio o 12% itd.

C. Absolutne wskaźniki sezonowości obliczone zgodnie ze wzorem (4.60) informują o wyrażonej w GW-h średniej różnicy pomiędzy średnimi dla poszczególnych miesięcy i ogólną średnią miesięczną. Na przykład w styczniu produkcja była wyższa średnio o 2440 GW-h, natomiast od czerwca do sierpnia była średnio niższa o ponad 2000 GW-h.

P. 3. Obliczanie składnika resztowego dla szeregu czasowego produkcji energii elektrycznej w GW-h w miesiącach 1991-1993, dla którego zmierzono wahania sezonowe w P4.17:

Miesiąc	Wartości empiryczne yti	Średnie jednoimienne
I	13 962	13 562	160 000
II	12 941	12 473	219 024
III	12 796	12 682	12 996
IV	11 275	11 002	74 529
V	10 577	9 803	599 076
VI	9 173	9 022	22 801
VII	8 979	8 902	5 929
VIII	9 025	9 044	361
IX	9 282	9 618	112 896
X	11 239	11 580	116 281
XI	12 093	12 472	143 641
XII	13 268	13 307	1 521
I	13 354	13 562	43 264
II	12 240	12 473	54 289
III	12 476	12 682	42 436
IV	10 999	11 002	9
V	9 579	9 803	50 176
VI	8 965	9 022	3 249
VII	9 005	8 902	10 609
VIII	8 963	9 044	6 561
IX	9 742	9 618	15 376
X	12 034	11 580	206 116
XI	12 289	12 472	33 489
XII	13 189	13 307	13 924
I	13 371	13 562	36 481
II	12 239	12 473	54 756
III	12 773	12 682	8 281
IV	10 731	11 002	73 441
V	9 253	9 803	302 500
VI	8 929	9 022	8 649
VII	8 721	8 902	32 761
VIII	9 144	9 044	10 000
IX	9 829	9 618	44 521
X	11 467	11 580	12 769
XI	13 035	12 472	316 969
XII	13 465	13 307	24 964
Suma	400 402	400 401	2 874 645

GW-h

Odchylenie składnika resztowego wynosi 282,6 GW-h, to znaczy o tę wielkość różni się średnio zaobserwowana produkcja energii elektrycznej od określonej wartością średnich jednoimiennych. Współczynnik zmienności przypadkowej świadczy o niewielkim znaczeniu wahań przypadkowych. To spostrzeżenie potwierdza analiza graficzna - krzywa empiryczna i krzywa wyznaczona średnimi jednoimiennymi różnią się nieznacznie.

Rys. 4.7. Wahania sezonowe produkcji energii elektrycznej w latach 1991-1993

II. METODA

1. wyznaczenie funkcji trendu.

2. dla każdego okresu (t) obliczamy wartości teoretyczne (
) z funkcji trendu lub średnich ruchomych.

3. dla każdego okresu (t) obliczamy ilorazy
   (lub różnice (
   )).

4. dla okresów jednoimiennych (i) obliczamy względne wskaźniki sezonowości jako średnią z ilorazów zaobserwowanych w kolejnych cyklach rocznych (c):

5. absolutne wskaźniki sezonowości obliczamy jako średnią z różnic:

6. Jeżeli suma względnych (absolutnych) wskaźników sezonowości nie spełnia warunku
   lub
   , korygujemy (oczyszczamy) wskaźniki następująco:

7. ocena wahań przypadkowych

• w szeregach, w których występuje zarówno trend, jak i sezonowość, musimy ustalić wartości teoretyczne (
  ) uwzględniające oba te składniki. W zależności od sposobu oceny sezonowości (wskaźniki względne lub absolutne) wartości teoretyczne obliczymy jako:

Gdzie
oznacza wartość określoną funkcją trendu w i-tym podokresie jednoimiennym.

Odchylenie standardowe składnika resztowego, czyli średni błąd szacunku:

ukazuje, o ile średnio różnią się zaobserwowane wartości od oszacowanych z uwzględnieniem trendu i sezonowości.

Współczynnik zbieżności (indeterminacji):

pokaże, jaka część zmienności w czasie badanego zjawiska jest wywołana czynnikiem przypadkowym, gdy z kolei współczynnik determinacji

R² = 1 - ²

określa zmienność wyjaśnioną przez trend i wahania sezonowe.

P. 4. Obliczanie wskaźników sezonowości dla szeregu przedstawiającego mieszkania oddane do użytku w tys. w kwartałach 1989-1993 (źródło: Biuletyn Statystyczny GUS 1991, nr 1-3, 1992, nr 1, 1994, nr1).

A.

Kwartały	yt	t		yt /	yt -
I 1989	23,5	1	37,04	0,634	-13,54
II	35,8	2	36,52	0,980	-0,72
III	29,4	3	36,00	0,817	-6,60
IV	61,5	4	35,48	1,733	26,02
I 1990	23,3	5	34,96	0,666	-11,66
II	28,1	6	34,44	0,816	-6,34
III	31,0	7	33,92	0,914	-2,92
IV	51,9	8	33,40	1,554	18,50
I 1991	23,7	9	32,88	0,721	-9,18
II	29,9	10	32,36	0,924	-2,46
III	28,5	11	31,84	0,895	-3,34
IV	54,4	12	31,32	1,737	23,08
I 1992	47,3	13	30,80	1,536	16,50
II	19,6	14	30,28	0,647	-10,68
III	22,4	15	29,76	0,753	-7,36
IV	43,7	16	29,24	1,494	14,46
I 1993	18,7	17	28,72	0,651	-10,02
II	19,6	18	28,20	0,695	-8,60
III	19,1	19	27,68	0,690	-8,58
IV	30,6	20	27,16	1,127	3,44
Suma	642,0	210	642,00	x	0,00

Parametry funkcji trendu obliczono według wzorów (3.32) i (3.33):

, a następnie dla każdego okresu obliczono
.

B. Na podstawie ilorazów (y_t / ) przepisanych w poniższej tablicy roboczej obliczono względne wskaźniki sezonowości według wzoru (4.64), przyjmując c=5 lat. Ponieważ suma wskaźników różniła się od 4, obliczono wskaźniki skorygowane. Po pomnożeniu przez 100 mogą być wyrażone w procentach.

Kwartał	1989	1990	1991	1992	1993	WSi	WSi(kor)
I	0,634	0,666	0,721	1,536	0,651	0,842	0,842
II	0,980	0,816	0,924	0,647	0,695	0,813	0,813
III	0,817	0,914	0,895	0,753	0,690	0,814	0,815
IV	1,733	1,554	1,737	1,494	1,127	1,529	1,530
Suma	x	x	x	x	x	3,997	4,000

C. Na podstawie różnic (y_t -) przepisanych w poniższej tablicy roboczej obliczono absolutne wskaźniki sezonowości według wzoru (4.65). Są one wyrażone w tys. mieszkań.

Kwartał	1989	1990	1991	1992	1993	ASi
I	-13,54	-11,66	-9,18	16,50	-10,02	-5,58
II	-0,72	-6,34	-2,46	-10,68	-8,60	-5,76
III	-6,60	-2,92	-3,34	-7,36	-8,58	-5,76
IV	26,02	18,50	23,08	14,46	3,44	17,10
Suma	x	x	x	x	x	0,00

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że liczba mieszkań oddawanych do użytku charakteryzuje się wyraźnymi kwartalnymi wahaniami. Charakterystyczny jest względnie wyrównany poziom zjawiska w pierwszych trzech kwartałach roku (średnio 5-6 tys. mieszkań mniej, tzn. około 20% mniej niż to wynika z wartości określonych trendem) oraz wysoki poziom w kwartale czwartym (średnio 17,1 tys. mieszkań więcej, tzn. ponad 50% więcej niż to wynika z trendu). Należy sądzić, że zaobserwowana sezonowość wynika głównie z przyczyn organizacyjnych.

P. 5. Obliczanie składnika resztowego dla szeregu czasowego liczby mieszkań oddanych do użytku w tys. w kwartałach 1989-1993; wskaźniki sezonowości obliczono w P4.19:

A. B.

Kwartał	yt	t
I 1989	23,5	1	37,04	31,19	59,08	31,46	63,34	73,96
II	35,8	2	36,52	29,73	36,89	30,76	25,41	13,69
III	29,4	3	36,00	29,30	0,01	30,24	0,70	7,29
IV	61,5	4	35,48	54,28	52,09	52,58	79,58	864,36
I 1990	23,3	5	34,96	29,44	37,65	29,38	36,96	77,44
II	28,1	6	34,44	28,03	0,00	28,68	0,34	16
III	31	7	33,92	27,61	11,49	28,16	8,07	1,21
IV	51,9	8	33,40	51,10	0,64	50,50	1,96	392,04
I 1991	23,7	9	32,88	27,68	15,88	27,30	12,96	70,56
II	29,9	10	32,36	26,34	12,67	26,60	10,89	4,84
III	28,5	11	31,84	25,92	6,67	26,08	5,86	12,96
IV	54,4	12	31,32	47,92	41,99	48,42	35,76	497,29
I 1992	47,3	13	30,80	25,93	456,51	25,22	487,51	231,04
II	19,6	14	30,28	24,65	25,49	24,52	24,21	156,25
III	22,4	15	29,76	24,23	3,33	24,00	2,56	94,09
IV	43,7	16	29,24	44,74	1,08	46,34	6,97	134,56
I 1993	18,7	17	28,72	24,18	30,06	23,14	19,72	179,56
II	19,6	18	28,20	22,96	11,26	22,44	8,07	156,25
III	19,1	19	27,68	22,53	11,78	21,92	7,96	169
IV	30,6	20	27,16	41,56	120,06	44,26	186,63	2,25
Suma	642	210	642	639,32	934,63	642,00	1 025,47	3 154,64

Obliczamy miary określone wzorami (4.70), (4.71), (4.72).

A. Dla sezonowości opisanej wskaźnikami względnymi:

B. Dla sezonowości opisanej wskaźnikami absolutnymi:

Z porównania miar wynika, że względne wskaźniki sezonowości (A) lepiej opisują ten rodzaj wahań. Odchylenie standardowe pokazuje, że kwartalna liczba oddawanych do użytku mieszkań różni się od wielkości wyznaczanej przez trend i względne wskaźniki sezonowości średnio o 7,21 tys. Współczynnik zbieżności wskazuje, że ok. 30% zmienności kwartalnej liczby mieszkań oddawanych do użytku w latach 1989-1993 spowodowały czynniki przypadkowe. Z analizy wykresu wynika, że szczególnie duże wahania o charakterze przypadkowym wystąpiły na przełomie 1991/92 r.

Rys. 4.8. Wahania sezonowe liczby mieszkań oddawanych do użytku w kwartałach 1989-1993

Znajomość charakterystyk liczbowych opisujących składniki szeregu czasowego: trend, wahania sezonowe i wahania przypadkowe umożliwia dość precyzyjne przewidywanie wielkości zjawiska w niezbyt odległej przyszłości. Ekstrapolacja szeregu czasowego uwzględniająca wszystkie omówione składniki polega na budowie przedziału liczbowego dla okresu t = n + p:

P. 6. Na podstawie wyników analizy składników szeregu czasowego prezentującego liczbę mieszkań oddanych do użytku w kwartałach 1989-1993 w P4.19 i P4.20 należy oszacować przewidywaną liczbę mieszkań w IV kwartale 1994 r.

Funkcja trendu: (t = 1 w I kw. 1989).

Dla IV kw. 1994 r. t = 24, a zatem:

tys. mieszkań

Względny wskaźnik sezonowości dla IV kw.: WSIV = 1,53

Odchylenie standardowe składnika resztowego: Se(Y) = 7,21 tys. mieszkań

Przewidywany poziom zjawiska ustalamy, budując przedział określony wzorem (4.73):

25,08 . 1,53 - 7,21 < y _{IV kw 1994} < 25,08 . 1,53 + 7,21

31,16 < y_{IV kw 1994} < 45,58

Jeżeli tendencja rozwojowa nie ulegnie zmianie, to w IV kw. 1994 r. należy oczekiwać od 31,2 do 45,6 tys. mieszkań oddanych do użytku.

12

---