STATYSTYKA OPISOWA 2 WYKŁAD 28.02. 2009

Opisowe charakterystyki rozkładów

Miary średnie - zwane też miarami poziomu wartości zmiennej, miarami położenia lub przeciętnymi.

• Klasyczne - średnia arytmetyczna (x), średnia harmonomiczna, średnia geometryczna

• Pozycyjne - kwartyl pierwszy (Q₁) , mediana (kwartyl drugi) (M_x, Q₂), kwartyl trzeci (Q₃), dominanta (moda) (D_x)

Średnia arytmetyczna - to suma wartości zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzielona przez liczbę tych jednostek.

WZÓR

=
=

Gdzie:

x - symbol średniej arytmetycznej

x₁ - kwanty cechy mierzalnej

n- liczebność danej zbiorowości

Jeżeli warianty zmiennej występują z różną częstotliwością to oblicza się średnią ważoną.

Wzór na obliczenie średniej arytmetycznej z szeregów rozdzielczo punktowych:

=
=

Gdzie n₁ (;=1,2…k) oznacza liczebność jednostek odpowiadająca poszczególnym wariantom zmiennej, a n jest sumą tych liczebności.

Przykład 1

Obliczyć średnią liczbę napraw badanych komputerów:

n= 32 komputery

x - liczba napraw

liczba napraw	liczba komputerów	suma napraw	liczba skumulowana
xi	ni	xi*ni	nski
0	5	5	5
1	6	6	11
2	10	20	21
3	5	15	26
4	4	16	30
5	2	10	32
suma	32	67

=
=2,09

Interpretacja: Średnia liczba napraw dla badanych komputerów wynosi 2,09.

(D_x) Dominanta - jest to taka wartość cechy statystycznej która występuje najczęściej.

D_x= 2

Najczęściej komputerów miało 2 naprawy

Jeżeli największa liczebność (N_i) występuje więcej niż 1 raz to dominanty nie wyznaczamy.

(M_x) Mediana - dzieli zbiorowość uporządkowaną na 2 różne części w ten sposób że połowa jednostek ma wartość cechy mniejsze lub równe medianie, a połowa większe lub równe medianie.

N_m =

- miejsce mediany

M_x = 2

Połowa komputerów miała nie mniej niż 2 naprawy

Kwartyl pierwszy - dzieli zbiorowość uporządkowaną na 2 części w ten sposób że 25% jednostek ma wartość cechy mniejsze lub równe kwartylowi pierwszemu, a 75% jednostek ma wartości większe lub równe kwartylowi pierwszemu.

N_q1 =
- miejsce Q₁

Q₁ = 1

25% komputerów miało nie mniej niż 1 naprawę.

Kwartyl trzeci - dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części w ten sposób że 75% jednostek ma wartości cechy większe lub równe kwartylowi trzeciemu.

N_Q3 =
- miejsce Q₃

Q₃ = 3

X=

Gdzie:

X₁=
- środek przedziału

koszt napraw	liczba komputerów
Yoi - Y1i	ni	x1	xi *ni	nski
0 - 100	9	50	450	9
100 - 200	6	150	900	15
200 - 300	3	250	750	18
300 - 400	7	350	2450	25
400 - 500	5	450	2250	30
500 - 600	2	550	1100	32
suma	32	X	7900

y=

Interpretacja: Średni koszt napraw komputerów wynosi 246,88

D_x = X_0D+

Gdzie:

x_oD - początek przedziału dominanty

n_D - liczebność przedziału dominanty

n_D-1 - liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty

n_D+1 - liczebność przedziału następnego po przedziale dominanty

h_D - długość przedziału dominanty

Dx= 0+

Najwięcej komputerów charakteryzowało się kosztem napraw równym ok. 75 zlotych.

Nm

WZÓR

Mx= Xom+
n_skm-1)

Gdzie:

x_oM - początek przedziału mediany

n_skM-1 - liczebność skumulowana odpowiadająca przedziałowi poprzedzającemu przedział mediany

h_M - długość przedziału mediany

n_M - liczebność przedziału mediany

Mx= 200+(16-15)

Połowa komputerów charakteryzuje się kosztem napraw nie większym niż 233,33 złotych.

Wzór na Q₁ dla szeregu przedziałowego

Q₁ = X_0Qx + (
n_skQ1)

Gdzie:

X_oQ1 - początek przedziały kwartyla pierwszego

n_skQ1-1 - liczebność skumulowana odpowiadająca

Interpretacja: 25% komputerów charakteryzuje się kosztem napraw nie większym niż 88,89 zł.

N_Q3 =

<300-400) - przedział Q₃

Q₃ = X_oQ3 + (
n_skQ3-1)

Interpretacja: 75% komputerów charakteryzuje się kosztem napraw nie większym niż 385,71 zł.

---