STATYSTYKA OPISOWA 4 WYKŁAD 29. 03. 2009
Temat: miary asymetrii (skośność)
Miery asymetrii służą do badania kierunku zróżnicowania wartości zmiennej.
Z punktu widzenia potrzeb analizy statystycznej istotny jest nie tylko przeciętny poziom (miary położenia)i wewnętrzne zróżnicowanie zbiorowości (miary zróżnicowania), ale również to, czy przeważająca liczba jednostek znajduje się poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy. Problem ten wiąże się z cechą asymetrii (skośności) rozkładu.
Rozkład symetryczny:
Po tyle samo jednostek ma wartości większe i mniejsze od poziomu średniego.
Rozkład o asymetrii prawostronnej:
Większość jednostek ma wartości mniejsze od poziomu średniego.
Rozkład o asymetrii lewostronnej:
Większość jednostek ma wartości większe od poziomu średniego.
Wskaźnik symetrii (skośności).
Ws= x- Dx
Jeżeli Ws = 0, to rozkład symetryczny
Jeżeli Ws >0, to asymetria prawostronna
Jeżeli Ws <0, to asymetria lewostronna
Wskaźnik asymetrii można również obliczyć na podstawie kwartyl
Przy rozkładzie symetrycznym
(Q3 - Mx) - (Mx - Q1) = 0
Przy rozkładzie o symetrii prawostronnej
(Q3 - Mx) - (Mx - Q1) >0
Przy rozkładzie o asymetrii lewostronnej
(Q3 - Mx) - (Mx - Q1) <0
Miara określająca zarówno siłę jak i kierunek asymetrii jest współczynnik asymetrii (skoczności).
mieszany
pozycyjny
Kierunek asymetrii
Jeżeli A = 0, rozkład symetryczny
Jeżeli A > 0, to asymetria prawostronna
Jeżeli A<0, to asymetria lewostronna
Siła asymetrii:
Najczęściej -1<A<+1
Jeżeli A<0,1, to asymetria bardzo słaba
Jeżeli 0,1< A <0,3, to asymetria słaba
Jeżeli 0,3< A <0,6, to asymetria umiarkowana
Jeżeli 0,6 < A <0,8, to asymetria silna
Jeżeli A>0,8, to asymetria bardzo silna
Wyznaczenie miar asymetrii dla szeregu rozdzielczo - punktowego
n= 32 komputery
x - liczna napraw
Interpretacja: Asymetria prawostronna, bardzo słaba.
Większość komputerów miała liczbę napraw mniejszą od średniej liczby napraw.
Współczynnik pozycyjny
Interpretacja: Dla komputerów tworzących dwie środkowe ćwiartki zbiorowości. Liczba napraw charakteryzuje się rozkładem symetrycznym.
Wyznaczanie miar asymetrii dla szeregu rozdzielczo - przedziałowego
n= 32 komputery
x - koszt napraw
współczynnik mierzalny
Interpretacja: Asymetria prawostronna, bardzo silna. Większość komputerów ma koszt napraw mniejszy od kosztu średniego
Asymetria pozycyjna
Interpretacja: Dla komputerów tworzących dwie środkowe ćwiartki zbiorowości koszt napraw charakteryzujący się rozkładem o bardzo słabej asymetrii prawostronnej.
Zadanie
w prywatnej firmie, zatrudniającej 24 pracowników przeprowadzono rejestrację liczby wypracowanych narodzeń w marcu 2007 roku. Otrzymano dane jednostkowe prezentowane poniższym wynikiem komputerowym:
|
1 |
|
1 |
|
L. NADG |
|
L. NADG |
1 |
10 |
13 |
30 |
2 |
16 |
14 |
10 |
3 |
10 |
15 |
0 |
4 |
16 |
16 |
32 |
5 |
8 |
17 |
0 |
6 |
24 |
18 |
12 |
7 |
10 |
19 |
20 |
8 |
30 |
20 |
0 |
9 |
15 |
21 |
15 |
10 |
20 |
22 |
0 |
11 |
16 |
23 |
1 |
12 |
10 |
24 |
4 |
l. napraw xi |
l. pracowników ni |
nski |
0 |
4 |
4 |
1 |
1 |
5 |
4 |
1 |
6 |
8 |
1 |
7 |
10 |
5 |
12 |
12 |
1 |
13 |
15 |
2 |
15 |
16 |
3 |
18 |
20 |
2 |
20 |
24 |
1 |
21 |
30 |
2 |
23 |
32 |
1 |
24 |
suma |
|
|
Używając miar pozycyjnych podać czy asymetria rozkładu godzin nadliczbowych lewostronna (ujemna) oraz jaka jest jej siła.
b) nie, słaba
Interpretacja: Asymetria prawostronna, słaba. Większość pracowników ma liczbę napraw godzin mniejsza od średniej.
Zadanie
Poniższy wydruk przedstawia statystyki opisowe otrzymane w trakcie badania 15 państw Unii Europejskiej na poziom inflacji (w %) oraz długu publicznego (w % PKB)
zmienna |
N. ważnych |
średnia |
mediana |
dolny kwartyl |
górny kwartyl |
inflacja |
15 |
1,8 |
1,8 |
1,3 |
1,8 |
dług pub. |
15 |
70,98 |
66,10 |
88 |
76,6 |
Czy kierunek asymetrii rozkładu inflacji oraz długu publicznego jest taki sam, względem której cechy asymetria silniejsza?
a) tak, inflacja
b)nie, inflacja
c) tak, dług publiczny
d) nie, dług publiczny
Interpretacja: W przypadku inflacji mamy do czynienia z asymetria lewostronną bardzo silną oznacza to, ze większość krajów ma inflację większą od średniej (zdecydowana większość).
W przypadku długu publicznego prawostronną słabą czyli większość badanych krajów ma poziom długu krajowego ma większą od średniej (większość nie jest znacząca).