OPIS WYKONYWANIA ZADAŃ

Celem ćwiczenia jest określenie rozkładu pola temperatury w badanej próbce oraz wpływu przewodności cieplnej na ten rozkład za pomocą pakietu PDE (partial differential equations) działającego w środowisku MATLAB wykorzystującego metodę elementów skończonych.

1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

Dana jest próbka w kształcie prostopadłościanu o wysokości H = 0,01 m i podstawie będącej kwadratem o boku b = 0,05 m wykonana z jednorodnego i izotropowego materiału o współczynniku przewodzenia ciepła λ = 0,204 W/(mK). Dolna powierzchnia próbki styka się z grzejnikiem elektrycznym o takim samym polu powierzchni co badana próbka, który w wyniku przepływu prądu elektrycznego o natężeniu I [A] i napięciu na nim U [V] generuje strumień ciepła o gęstości powierzchniowej

(1)

Górna powierzchnia próbki zachowuje stałą temperaturę T_wz równą temperaturze chłodnicy przez którą przepływa woda z laboratoryjnego ultratermostatu. Boczne powierzchnie próbki są izolowane od otoczenia i traktowane jako powierzchnie adiabatyczne. Zakładając, że wymiana ciepła w próbce zachodzi tylko na drodze przewodzenia, pole temperatury w próbce T = T(x,y,z,τ) opisuje równanie różniczkowe cząstkowe typu parabolicznego postaci

(2)

gdzie ρ - gęstość ciała, kgm^-3 ; c_p - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, Jkg^-1K^-1

div - operator dywergencji (np. jeśli znamy pole wektorowe
, to

(3)

grad(T) - operator gradientu -
(4)

Ponieważ równanie przewodzenia ciepła (2) jest pierwszego rzeędu po czasie τ oraz drugiego rzędu po współrzędnych przestrzennych więc dla jednoznaczności jego rozwiązania należy podać warunki graniczne w postaci warunków początkowych i brzegowych.:

- warunek początkowy (WP) :

(5)

- warunki brzegowe (WB):

(6)

Gdzie

jest pochodną temperatury w kierunku normalnym zewnętrznym do powierzchni, Γ_i oznaczają powierzchnie próbki.

W przypadku ustalonego przewodzenia ciepła nie wystepuje zależność temperatury od czasu, to

znaczy
. Jeśli dodatkowo przyjąć, (i) przewodność cieplna materiału próbki λ nie zależy

od temperatury, (ii) przewodzenie ciepła odbywa się tylko wzdłuż grubości próbki z, wóczas zagadnienie początkowo-brzegowe (2), (5)-(6) upraszcza się do postaci

(7)

którego rozwiązaniem jest

(8a)

Stąd widać, że najwyższa temperatura próbki występuje na powierzchni z = 0 i wynosi

(8b)

2. WYKORZYSTANIE PAKIETU PDE DO OKREŚLENIA ROZKŁADU TEMPERATURY W PRÓBCE

W celu uruchomienia pakietu PDE należy:

- włączyć komputer, a następnie uruchomić program MATLAB, którego ikona znajduje się na pulpicie;

- po załadowaniu programu MATLAB i wpisaniu komendy [pdetool], pojawi się następujące okno

Ox

- wybrać typ zagadnienia z: [Options] → [Application] → [Heat Transfer]

- określić rozmiary osi: [Options] → [Access Limits] i wpisać

- narysować na ekranie przekrój próbki wzdłuż jej grubości (kliknąc na znak prostokąta znajdującego się w górnym pasku pod {File], przenieść pointer na pole edycyjne, a następnie trzymając wciśnięty lewy przycisk „myszy” nasysowac prostokąt)

- udokładnić współrzędne prostokąta najeżdżając poiterm na narysowany prostokąt i klikając dwukrotnie lewym przyciskiem „myszy” wpisać w polu [Object Dialog] współrzedne lewego dolnego i prawego górnego wierzchołka prostokąta

- określić parametry termofizyczne materiału probki: kliknąć ikonę PDE znajdująca się w górnym pasku zadań w wyniku czego pojawi się następujące okno dialogowe

W powyższym oknie [PDE Specification] zaznaczyć i wpisać:

typ PDE - Elliptic (odpowiada to ustalonemu przewodzeniu ciepła)

współczynnik przewodzenia ciepła (coeff of heat cond.) - k = 0.204

gęstość wew. źródeł ciepła (heat source) - Q = 0.0

współczynnik przejmowania ciepła (convective heat transf. coef.) - h = 0.0

temperatura zew. (external temperature) - Text = T_wz

- określić warunki brzegowe: kliknąć ikonę ∂Ω, pojawi sie brzeg obszaru

Po dwukrotnym kliknięciu widocznych linii pojawi sieokno dialogowe [Boundary Condition]

Dla dolnej linii prostkąta (zadana gęstość strumienia ciepła) zaznaczyć typ warunku brzegowego (condition type) jako warunek II-go rodzaju, czyli - Neuman

wpisać, gęstość strumienia ciepła (heat flux) - g = U*I/b² (U, I, z pomiarów)

wpisać, wspólczynnik przejmowania ciepła (Heat transf. coeff) - q = 0.0, OK.

Dla górnej linii prostokąta (zadana stała temperatura T=T_wz) zaznaczyć typ warunku brzegowego (condition type) - Dirichlet

wpisać, waga (weight) - h = 1

wpisać, temperatura - r = T_wz (z pomiarów)

Dla pozostałych dwóch boków zaznaczyć [Neuman] i wpisać g = 0.0, q = 0.0

- pokryć obszar siatką elementów skończonych, klikając na ikonę w kształcie trójkąta

Jeżeli gęstość siatki elementów skończonych jest zbyt mała, to zagęścić siatke klikając na ikonę w kształcie trójkąt w trójkacie

- uruchomic solver, klikając na ikonę (=)

- wybrac sposób zobrazowania rozwiązania: [Plot] → [Parameters]

zaznaczyć w opcji [Plot type] : Color + Contour

wybrać w opcji [Property] wielkość do wizualizacji : Temperature albo Heat flux

kliknąć [Plot]

3. PRZEBIEG ĆWICZENIA

1. Przejść do stanowiska laboratoryjnego na którym przeprowadza się pomiar współczynnika przewodzenia ciepła (ćw. lab. nr 7) i odczytać:

- napięcie na grzejniku U = ....... [V]

- natężenie prądu w grzejniku I = ........ [A]

- temperaturę chłodnicy z wodą zimną U_wz = .........[mV] ⇒ T_wz=......... [^oC]

3.2. Obliczyć gęstość strumienia ciepła:
, gdzie η - współczynnik strat. Przyjąć początkowo η = 1.0

3.3. Uruchomić MATLAB i wpisać [pdetool]

3.4. Wyznaczyć stacjonarne pole temperatury (pkt. 2). Rozwiązanie numeryczne na powierzchni z = 0 (naprowadzic poiter na dolny bok prostokąta i kliknąć lewy przycisk „myszy”) porównać z rozwiązaniem analitycznym (8b).

3.5. Odczytać temperaturę T_g próbki od strony grzejnika (ćw. lab. nr 7). W wyniku porównania zmierzonej i obliczonej temperatury wyznaczyć wspołczynnik strat - η

3.6. Korzystając z pakietu PDE określić:

- wpływ przewodności cieplnej na rozkład temperatury w próbce (określić T_max-T_min dla λ₁ = 0,204 W/(mK), λ₂ = 2,04 W/(mK));

- wpływ współczynnika przejmowania ciepła α na pole temperatury (w opcji [Boudary Condition] założyć, że na brzegu x=b występuje warunek brzegowy

. Porównując to wyrażenie ze wzorem
widzimy, że g = α⋅T_wz, q = α. Przyjąć α = 10 W/(m²K) i wydrukować izotermy temperatury

3.7. Wyznaczyć przy pomocy PDE niestacjonarny rozkład temperatury w próbce, przyjmując:

gęstość materiału ρ = 1200 kg/m³

przewodność cieplna λ = 0,204 W/(mK)

ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu c_p = 800 J/(kgK)

wsp. przejmowania ciepła na powierzchni x = b, α = 50 W/(m²K)

temperatura początkowo T(x, y, 0) = 20.0 ⁰C

czas końcowy t_f = 150 s

W s k a z ó w k a: Zaznaczyć (Parabolic) w [PDE]→[PDE Specification] i wpisać wartości podanych parametrów

3.8. Określić jak zmienia się (T_max - T_min) jeśli zwiększymy 2-krotnie

przewodność cieplna λ

ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu c_p

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI

ĆWICZENIE NR 12

L12 - 6

Oy

---