CIĄGI LICZBOWE

1. Narysuj wykresy następujących ciągów liczbowych : a)
b)
c)
.

2. Wyznacz cztery początkowe wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym :a)
b)
c)

3. Które wyrazy ciągu a)
są dodatnie? b)
są ujemne? c)
są równe 2 ?

d)
są równe zeru ? e)
są nieujemne ?

4. Ile wyrazów : a) ujemnych ma ciąg
? b) dodatnich ma ciąg
?

5. Zbadaj monotoniczność ciągu : a)
b)
c)
d)
e)

6. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a_n), którego suma n początkowych wyrazów określona jest wzorem:

a)
b)
c)
d)
Wskazówka:

7. Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu o początkowych wyrazach : a)
,
,
,
,
,… b) 4, 7, 10, 13, 16,…

8. Wyznacz wyrazy
,
,
,
mając dane a)
b)
c)

CIĄG ARYTMETYCZNY

9. Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny a) 3, 7, 11, 15,… b) 5, 2, -1, -5,.. c)
d)

10. Oblicz wyraz pierwszy i różnicę ciągu arytmetycznego, wiedząc, że: a)
i
b)
i

c)
i
d)
i
e)
i
f)
g)
h)
i
i)
i
j)
i

11. Oblicz x, wiedząc, że kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego są liczby: a) x, 2x +1, 3 b) 3, x², 5

c) 2, x² + 3, x + 10 d)
, x - 2 ,
e) x² + 1 , 5x - 2, 2x² + x + 1 f)
, x,
+ 4

12. Między liczby 2 i 20 wstaw cztery liczby tak, by łącznie z danymi utworzyły ciąg arytmetyczny.

13.Ciąg (a_n) jest arytmetyczny oblicz: a) wyraz dziewiąty, gdy
i
b) wyraz piąty, gdy

c) wyraz trzeci, jeżeli
i
d) wyraz drugi , gdy
i
e) wyraz setny, gdy

14.Napisz wzór na wyraz ogólny oraz na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a) 3, 1, - 1, - 3, …

b) 2, 2 +
, 2 + 2
,… c)
i r = 3 d)
i
e)
i

15. Oblicz sumę liczb naturalnych: a) od 1 do 100 włącznie b) dwucyfrowych c) od 12 do 121 włącznie

d) dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3 e) 1 + 3 + 5 +7 + …+ 201 f) mniejszych od 113

16. W ciągu arytmetycznym oblicz a)
, jeśli
i
b)
, jeśli

17. Wyznacz liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc ,że
, r = 6 ,
.

18. Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego , wiedząc, że
,
, n = 14.

19. Wyznacz sumę
w ciągu arytmetycznym, wiedząc, że jego wyraz ogólny
.

20. Wyznacz sumę dwóch początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym wyraz ogólny
.

21. Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu prze 5 dają resztę 2 ?

22. Rozwiąż równanie przyjmując, że jego lewa strona jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego:

a) 1 + 4 + 7 +…+ x = 117 b) x + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) +…+ ( x + 48 ) = 245 c) 2 + 4 + 6 +…+ 2n = 110

23. Samochód w cenie 45 000 zł kupiono na raty. Pierwszą ratą była kwota 3 600 zł, a każda następna rata była o

150 zł mniejsza od poprzedniej. W ilu ratach spłacono samochód ?

24. Jurek każdy swój letni urlop spędza na rowerze. W ubiegłym roku w ciągu 10 dni przejechał 645 km, jadąc

każdego dnia o 5 km więcej niż poprzedniego. Ile kilometrów przejechał pierwszego dnia?

25. Na wiosnę Kasia postanowiła biegać dla zdrowia. Zaczęła 2 maja biegając przez 15 min . Jeśli każdego dnia

biegała o dwie minuty więcej niż poprzedniego, to którego dnia maja bieg trwał 45 minut?

26. W schronisku turystycznym pierwsza doba kosztuje 35 zł, a każda następna o 2 zł mniej. Ile turysta

zapłaci za sześciodniowy pobyt?

27. Długości boków dowolnego trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi. Znajdź ich długości, jeśli jego obwód

wynosi 18.

CIĄG GEOMETRYCZNY

28 Sprawdź, czy podany ciąg jest geometryczny: a) 3, 9,27,52 b)
,
,
c)
d)

29. Wyznacz wyraz pierwszy i iloraz ciągu geometrycznego, w którym a)
,
,
… b) -3, 15, - 75 …

c)
,
,
… d)
i
e)
i

30. Znajdź x , dla której podany ciąg jest geometryczny: a) 4, 8, x b) 4, x + 1, 25 c) x - 2, x + 2, 3x - 2

31. W ciągu geometrycznym znajdź wskazaną wielkość: a)
i q = 2 oblicz
b) q = 5 i
oblicz

c)
i
oblicz q d)
, q = -3,
oblicz n e)
oblicz q

32. Znajdź wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego a) 3, 6, 12… b) 2, -10, 50… c)
i

33. W ciągu geometrycznym suma drugiego i czwartego wyrazu wynosi 10, a suma trzeciego i piątego wynosi 20

Wyznacz a₁ i q.

34. Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego a)
i q = - 2 b)

35. Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego mając dane q = 2 i
.

36. Miedzy liczby 12 i 972 wstaw trzy liczby tak , by wraz z danymi liczbami utworzyły ciąg geometryczny.

37. Pierwszy odcinek łamanej ma długość 3cm, a każdy następny jest dwa razy dłuższy od poprzedniego.

Z ilu odcinków składa się ta łamana, jeśli ma ona długość 765 cm?

38. Karton grubości 2 mm złożono dwadzieścia razy na pół. Oblicz grubość tak otrzymanej warstwy kartonu.

39. Tomek przed maturą rozwiązywał zadania z chemii. Pierwszego dnia rozwiązał 40 zadań, a każdego następnego

dnia rozwiązywał 1,5 razy więcej. W sumie rozwiązał 325 zadań. Przez ile dni rozwiązywał te zadania.

CIĄG ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY

40. Pan Jan otrzymał dwie propozycje zapłaty za 20 dni pracy. Pierwsza: za pierwszy dzień pracy 100zł, a za każdy

następny o 20 zł więcej niż dnia poprzedniego. Druga: za pierwszy dzień pracy 20 groszy, a za każdy następny

dwa razy więcej niż dnia poprzedniego. Która propozycja jest bardziej korzystna i o ile?

41. Wyznacz wartości a i b tak, aby liczby a, b, 12 tworzyły ciąg geometryczny a liczby a, b, 9 ciąg arytmetyczny.

42. Liczby 3, y, x tworzą ciąg arytmetyczny, zaś liczby 3, y - 6, x ciąg geometryczny. Wyznacz te ciągi.

43. Wyznacz takie liczby x, y, aby ciąg 27, x, y był geometryczny, a ciąg x, y, - 3 arytmetyczny.

44. Liczby m, n, 1 tworzą ciąg arytmetyczny natomiast liczby 1, m, n ciąg geometryczny. Wyznacz m i n.

45. Trzy liczby , których suma jest równa 21, tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli od tych liczb odejmiemy odpowiednio

1, 4, 3, to otrzymane liczby utworzą ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby, które tworzą ciąg arytmetyczny.

46. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 26. Jeżeli do tych liczb dodamy odpowiednio

1, 6, 3, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Znajdź te liczby.

47. Trzy liczby, których suma jest równa 93, tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi

i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

48. Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, gdy do pierwszej z nich dodamy 8, a drugą i trzecią

pozostawimy bez zmiany, to otrzymamy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, których suma jest równa 26.

Wyznacz te ciągi.

PROCENT SKŁADANY

49. Na lokatę terminową oprocentowaną p% w skali roku , wpłacono 10 000 zł. Oblicz, jaki będzie stan lokaty

po upływie okresu t, jeśli: a) lokata kwartalna p% = 4% , t = 2 lata b) lokata półroczna, p% = 3%, t = 18 m-cy

50. Do jakiej wysokości wzrośnie kapitał początkowy w wysokości 1200 zł po 5 latach oszczędzania, umieszczonej

w banku na 8 % lokacie przy rocznej kapitalizacji odsetek?

51. Jaki kapitał złożony na 7% lokatę roczną wzrośnie po 6 latach do wysokości 15000 zł ?

52. Na jaki procent należy ulokować kapitał na lokacie rocznej, aby po 4 latach podwoił swoja wartość?

53.Trzy banki podają różne informacje o stopie oprocentowania: Bank A: U nas oprocentowanie roczne wynosi 14%,

Bank B: U nas oprocentowanie wynosi 13%, ale odsetki są dopisywane co pół roku, Bank C: U nas oprocento-

towanie wynosi 12% , ale odsetki dopisywane są co kwartał. W którym z tych banków najkorzystniejsze jest

umieszczenie rocznej lokaty w wysokości 20 000 zł?

54.Do banku wpłacono 25 000 zł. Ile będą wynosiły odsetki po 3 latach oszczędzania na półrocznej lokacie ,

jeśli oprocentowanie w skali roku wynosi 8 % ?

---