0000004

Twierdzenie o istnieniu macierzy odwrotnej (z dowodem)

Wzory Moivre’a i pierwiastkowanie liczb zespolonych. Obliczyć (I-i)²⁵.

Omówić możliwe położenia wzajemne płaszyzny Ax+By+Cz-*-D^:=0 i sfery (x-x₀)^{2 +}(>^,_>'o)^{2 +}U^_-o)^{2 =} R² ■

Twierdzenie Cramera (z dowodem).

Iloczyn wektorowy - definicja, obliczanie, własności i zastosowania.

Omówić powierzchnie prostokreślne (walce i stożki). Wyznaczyć równanie stożka o wierzchołku F(0,0,1) i kierownicy K: x² +y² = z, x + y + z = 2.

1.    Podać definicje liniowej zależności i liniowej niezależności wektorów' w przestrzeni liniowej. Sformułować i udowodnić twierdzenie o liniowej zależności wektorów.

2.    Omówić relację równoważności. Zbadać, czy relacja pcZ² określona wzorem: kpi o 2 dzieli (k+I) jest relacją równoważności, jeśli tak, to wyznaczyć klasy abstrakcji względem tej relacji.

3.    Omówić wzajemne położenie dwóch prostych w przestrzeni 9? Obliczenie odległości między prostymi.

I + i

2003

1.    Przedstawić w postaci algebraicznej liczbę:

2.    Dla jakich wartości parametru pelR układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań:

x + 2y + 4z = 9,

rozwiązania.

3. Wykazać, że prosta L:

x + z = 3,

symetrycznej do prostej L względem płaszczyzny rc

4. Spraw izić, że proste: L:

x - l y z-2

1 2

obrót prostej L dookoła prostej K.

2x - y + pz = 1.

- x + 2y - 3z = 2, wyznaczyć te px + y - 2z = 3.

teW, jest równoległa do płaszczyzny n: -5x+4y+z=3. Wyznaczyć równanie prostej K x + y + z = 0,

i K:

x-z = 0,

są skośne. Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej przez

1.    Obliczyć: t^-64.

2.    W zależności od parametru ae'3ł, rozwiązać układ równań:

2x + y - z = I,

- x + y + z = a,

3x + 3y - r = 4.

3. Wyznaczyć równanie prostej na której leży dwusieczna kąta ostrego utworzonego przez proste L i K, jeżeli:

•. Napisać równanie płaszczyzny, na której leżą te proste.

L ^X~ ¹ -    _ -+ 2 _K. *-l _ y + 5 _ 2-3

-1

4. Wyznaczyć równanie walca o kierującej K:

-1

_; ł'. U² +y = o, .

X - z = 0,

i tworzących równoległych do prostej

L:

x- I _ >■- 3 _ z + 2

-I

Obliczyć: a) (l - \j3 if ; b) J5 -12/.

	'2 1	-2		10 0
Rozwiązać równanie macierzowe:	0    3 1    -2	1 -1	.V =	20 -10 5 -5

1.

2. 3.

W trójkącie o wierzchołkach A(-2,-2.0), B(-I.O.I), C(2.3,2) wyznaczyć :

a)    długość wysokości, która wychodzi z wierzchołka A;

b)    równanie prostej, na której leży środkowa wychodząca z wierzchołka A i punkt przecięcia się środkowych.

4.

Wyznaczyć równanie powierzchni stożkowej o wierzchołku F(l,0.ł) i kierującej K:

y = t

2

Z =/.