0313

314

V. Funkcje wielu zmiennych

Jasne jest dla czytelnika, że wypowiedziany wyżej warunek daje inną formę definicji granicy funkcji „w języku ciągów”.

Tak więc i dla funkcji wielu zmiennych możemy sprowadzić zagadnienie granicy funkcji do zagadnienia granicy ciągu (porównaj ustęp 53). Wynik ten daje się łatwo rozszerzyć także na przypadek, gdy liczby A, a_x,..., a„, lub niektóre z nich są nieskończone.

Fakt ten pozwala przenieść na nowy typ granicy wszystkie pojęcia podstawowe i twierdzenia wyłożonej w rozdziale I teorii granic, podobnie jak to zrobiliśmy w ustępie 55 dla granicy funkcji jednej zmiennej niezależnej.

167. Przykłady.

1) Korzystając z twierdzenia o granicy iloczynu można przede wszystkim łatwo udowodnić, że

lim Cx\ⁱ...xlⁿ=Ca\ⁱa^v2²...alⁿ,

gdzie C, Oi, a₂, ..., a„ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a v_1; v₂, ..., v„ — liczbami całkowitymi nieujemnymi. Stąd, jeśli przez P(x₁, x₂, x_n) oznaczymy wielomian [164]:

P(x_l,x₂, ...,x„) = £ C_V1 ..._Vnx^v1^,x₂²...x’",

Vi-..V_M

otrzymujemy na mocy twierdzenia o granicy sumy także

lim P(xi,x₂, ..., x„) = P(a_i, a₂, ..., a„),

x_l->a_i

Analogicznie dla funkcji wymiernej ułamkowej [164]:

e(*i,x₂, ...,xj=

En    _Yvj v₂ v„

'-'viV2...v_n    1    ^,,,An

Zn'    -yMl V^2

1 ^x2 "’^xn

będzie na mocy twierdzenia o granicy ilorazu

lim Q(x₁, x₂, ...,x_Ą) = Q(a₁, a₂, ...,a_H),

pod warunkiem oczywiście, że mianownik nie jest równy 0 w punkcie (a_lt a₂, a_n).

2) Rozpatrzymy funkcję potęgowo-wykładniczą x^> dla x>0 i dowolnego y. Wówczas, jeśli n>0, a b jest dowolną liczbą rzeczywistą, otrzymamy

lim x^y=a^b.

x~*a

y~*b

Rzeczywiście, jeśli wziąć dowolne ciągi x„-><z i y_n-+b, to (porównaj ustęp 78): a to w języku ciągów wyraża żądany wynik.