319 2

319

7.7. Funkcje wielu zmiennych

* Obudować wzór dla u"(0, 0) korzystający z u_i} (|j|<l, |/|«!) i dokładny dla zvśikich wielomianów drugiego stopnia.

* (b) Wykazać, że wzór interpolacyjny

_u(x₀+ph- >0^9^)■+ ipl^a(o ^{— u}-j.o) ⁺ ł‘3(⁰oi ^{— w}o.-i) +

+ ip²(ujo--Woo+“-    +    -i-w-i.i +    1> +

+ ł?*(»o₂ -2m₀₀ + «o. -i*

jest dokładny dla wszystkich wielomianów drugiego stopnia.

6. (a) Sprawdzić wzór (7.7.8) i schemat z rys. 7.7.4.

(b) Sprawdzić - np. za pomocą techniki operatorowej - że

6

f»i

gdzie V⁷ jest laplasjancm, a^są wartościami >v punktach P,(i= I, 2, ..., 6) sąsiadującymi 2 P_Q aa regularnej siatce sześciokątnej o boku h.

©«5    oą

cą‘ o ą    oę

^op- „ ,°^

7. Wykazać, że wzór

*©+* j^+k

J J u(x, y)djcdy=§h*(u,₀ + «_ol+u_ ,_-0 + u₀ _,-r-2u₀₀)

■*<*-* >©.-*

dokładny dla wszystkich wielomianów sześcicruwch (oznaczenia jak dla siatek prostokątnych).

Jeśli &_t i ty (i- |, 2, 3) są współrzędnymi barycentrycznymi punktów P i P\ to jakie ^ Współrzędne barycentrycznc punktu aP+(\ —<x)P"?

^C*y wielomian kwadratowy jest jednoznacznie określony przez sześć jego wartości ^{w %}>2f7xho!kacfc trójkąta i środkach boków?

c Wykazać, że poprawka brzegowa (7.7.20) jest dokładna, jeśli w== 1 i łuk jest para-° * ^{0 st}>^czncj w R równoległej do PQ.

• Uogólnić na wiele wymiarów twierdzenia z § 7.7 i upewnić się o ich słuszności. ₄    - kazówka. Wzór dla całki wvraża się najprościej przez wartości w wierzchołkach

kodku cięiŁojcj sympleksu.