0376

377

§ 5. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze

tów „podejrzanych” o to, że jest w nich ekstremum. Jednak swoją największą (najmniejszą) wartość funkcja u może osiągać i na brzegu obszaru. Dlatego też, dla znalezienia największej (najmniejszej) wartości funkcji u=f{x₁,x₂,...,x„)w obszarze 3t, trzeba znaleźć wszystkie wewnętrzne punkty „podejrzane" o ekstremum, obliczyć wartości funkcji w nich i porównać z wartościami funkcji w punktach brzegu. Największa (najmniejsza) z tych wartości będzie największą (najmniejszą) wartością funkcji w całym obszarze.

Objaśnimy to przykładami.

1)    Znaleźć największą wartość funkcji

u=sin x+sin y—sin (*+y)

w trójkącie ograniczonym osią x, osią y i prostą x+y—2n (rys.

106).

Mamy tu

u'_x=cosx — cosCt+y) ,    u,=cosy —cos(x+y) .

Wewnątrz obszaru pochodne są równe zeru jedynie w punkcie (fit.fn), w którym «=| ^3. Ponieważ na brzegu obszaru, to jest na prostych x=0,y = 0, x+y = 2n, badana funkcja jest równa zeru, więc oczywiście w znalezionym punkcie ma ona największą wartość.

2)    Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji

22. ,2 2, 22 , 2,. 2, 2,2

u=a x +b y +c z —{ax +by +cz ) ,

gdy zmienne x, y, z spełniają dodatkowy warunek x¹+y¹+z² = l (a>b>c>0).

Obliczając z tego warunku z² i wstawiając do wzoru określającego u otrzymujemy funkcję

u={a — c²) x² + (b² — c²) y² + c² — [(a—c) x + (b—ć) y² + c ]²

dwóch zmiennych niezależnych x, y w kole x²+y²<l.

Pochodne

u'_x=2x{a—c) {(a+c)—2 [(a—c)x²+(b—c)y² +c]} , u'=2y(b-c) {(b+c)-2 [(u—c)x² +(b—c)y² +c]}

są równe jednocześnie zeru w punktach

(I)    x—y—0    («=0),

(II)    x=0, y=±\sll {u=^{b-cf),

(III)    x=±ⁱ-_s/2, p-0 (u=i(«-c)²).

Teraz trzeba zająć się brzegiem obszaru, to znaczy okręgiem x²+y² = l. Wyznaczając stąd y² i podstawiając do u otrzymujemy funkcję jednej zmiennej x:

uMa²-b²)x² + b²-[(a-b)x²+b]²

w przedziale < — 1,1 >. Wewnątrz tego przedziału pochodna

u'=2(a-b)²x(l-2x²)

jest równa zeru dla

(IV)    jt=0 («=0),

(V)    *=±}V2    («=i(fl-ó)²).

Należy jeszcze pamiętać o końcach tego przedziału, tzn. o punktach

(VI)

x=±l (u=0).