0372

373

§ 5. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze

fx,x_k(¹ 1 ■+ 0Axi > • • •, + 04x„) = a_ik + a_ik (¹),

przy czym

(7)    a_ik->0,    gdy zlzj-^O, dx„-»0.

Teraz interesujące nas wyrażenie A można napisać w postaci

n    n

(8)    A=i{ £ a_f¹zfx_jdx_ik+ £

i, k = 1    l,k = l

Na pierwszym miejscu w nawiasach jest druga różniczka funkcji / w rozpatrywanym punkcie; jest ona wielomianem jednorodnym stopnia drugiego, czyli jak to się mówi formą kwadratową zmiennych Ax_t, Ax₂, Ax„ (²). Jak się przekonamy, od własności tej formy kwadratowej zależy rozwiązanie interesującego nas zagadnienia.

W algebrze wyższej formę kwadratową

n

(9)    I a_iky,y_k (a_ik=a_ki)

i,¹=l

zmiennych y_x, y₂, ..., y„ nazywamy określoną dodatnio {ujemnie), jeżeli przybiera ona wartości dodatnie (ujemne) dla wszystkich wartości argumentów nie równych jednocześnie zeru. Na przykład forma

6 y\ + 5^ + Uf₃ + 4 y_ty₂ - 8y₁y₃-2y₂y₃ jest określona dodatnio. Będzie to widoczne, gdy przedstawimy ją w postaci (2y₁-3y₃)² + 2(y₁ + y₂ + y₃)² + 3(y₂-y₃)².

Nie mamy tu możności wdawać się w szczegóły. Ograniczymy się do przytoczenia pochodzącego od J. J. Sylvestera warunku koniecznego i dostatecznego na to, by forma (9) była określona dodatnio. Wyraża się on ciągiem nierówności

«u>0,

^all ^a12 ^a21 ^a22 «U Bi ^a2l ^a22

		Bil	Bl2	B13
>0,		^fl21	^a22	^a23
		^fl31	^a32	a 33
12 •••	a	In

^a2n

>0,

>0(³).

B„1 B„2 •••

<2l 2 —<221 =2 ,

1

Oczywiście a_lk—a_kt oraz a,_k=a_kl.

(^J) Druga suma w nawiasach ma podobną postać, ale jej współczynniki są same funkcjami tych zmiennych.

(³) Zwracamy uwagę na to, że w sumie (9) są dwa wyrazy z iloczynem y,y_k (i# k), tak że a,_k = a_k, jest połową współczynnika przy y,y_k. Dla podanego przykładu łatwo jest sprawdzić warunek Sylvestera. Jest tutaj

<211=6,    <222=5 ,    <233 = 14 ,

<Jl3=<231 = —4 ,    <223=032=—1.