0370

371

§ 5. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze

Z drugiej strony, jeżeli idzie o drugi trójmian w nawiasach to wobec (4) jest

|a_ucos² ę>+2a₁₂cos ętsin ę>+a₂₂sin² ę>|<|a₁₁[+2|a₁₂| + |a₂₂|<m

dla wszystkich ę, jeżeli tylko p (a wraz z nim Ax i Ay) jest dostatecznie małe. Ale wówczas całe wyrażenie w nawiasach {...}, a tym samym i różnica A, będzie miała ten sam znak, co pierwszy z trójmianów, to jest znak współczynnika a₁₁.

A więc jeśli a₁₁>0, to i A>0 i tym samym funkcja w rozpatrywanym punkcie (x₀, y₀) ma minimum, gdy zaś a_u <0, to również A <0 i jest maksimum.

2° Załóżmy teraz, że 0n0₂₂ — af₂ <0.

Zatrzymajmy się na przypadku, gdy a₁₁^0, można wówczas zastosować znów przekształcenie (5). Dla fp=<p₁ =0 wyrażenie w nawiasach [...] jest dodatnie, bo sprowadza się do af_t. Przeciwnie, dla ę>= ę₂ obliczonego z warunku

Un cos <p₂+a_i2sin ę₂=0 (sin (p₂^0),

wyrażenie to sprowadza się do

ia₂₂-a\₂)sin² <p₂,

a więc jest ujemne. Dla dostatecznie małych p drugi trójmian w nawiasach {...} jest dowolnie mały zarówno dla ę—ę₁, jak i dla ę = ę₂i znak A jest określony przez znak pierwszego trójmianu. Tym samym dowolnie blisko rozpatrywanego punktu (jc₀, y₀) na półprostych tworzących z osią x kąty <p= ę_x i ę= ę₂ wartości różnicy A mają przeciwne znaki. W punkcie tym nie może więc być ekstremum.

Jeśli Au =0, to pierwszy trójmian w nawiasach {...} sprowadza się do postaci 2a₁₂cos q>sin ę + a₂₂sin² ę» = sin ę>(2a₁₂cos ę> + 0₂₂sin ę>).

Korzystając z tego, że musi być teraz a_l2 ^0, można tak określić kąt    aby

|a₂₂|-|^sin^i|^<2|a₁₂|-|cosę)₁|.

Wówczas dla <p = <p_l i <p = ę₂ = — <Pi trójmian ten będzie miał przeciwne znaki i dalsze rozumowanie jest takie samo jak poprzednie.

Zatem, jeżeli 0n0₂₂ ~^at 2 >0, to w badanym punkcie stacjonarnym (x₀, y₀) funkcja f(x, y) ma ekstremum, mianowicie maksimum właściwe przy 0n<O i minimum właściwe przy a_u>0. Jeżeli zaś a₁₁a₂₂—a²12<0, to ekstremum nie ma.

W przypadku a_lla₂₂—a\₂=0 trzeba dla rozstrzygnięcia zagadnienia użyć pochodnych wyższego rzędu; tym nierozstrzygniętym przypadkiem nie będziemy się zajmowali.

Przykład 1. Poszukajmy maksimów i minimów funkcji

2 2

z=\—0>>0,9>0). 2P 2 q

Obliczamy pochodne cząstkowe

, *    , y

Zx=—,    2»=— •

P    P

24*