0512

513

§ 5. Krzywizna krzywej płaskiej

Tutaj r',= — asinfl, r£=—a cos 0. Łatwo obliczyć, że

r² + r',² =4a² cos² '-0

oraz

r'_e² — rr'_l)'i = a¹(l +cos 0) —la² cos² i (9 .

Ze wzoru (7a) otrzymujemy teraz od razu

/ł=^acosi0.

Przypominając sobie [233, 4)] wzór na długość odcinka normalnej biegunowej do kardioidy widzimy, że

R = \n,.

7) Lemniskata r² = 2a² cos² 26 (rys. 126 na str. 459).

Widzieliśmy w ustępie 233, 5), że w tym przypadku a = 30+ijt, tak że da = 3d0. Ze wzoru (6) otrzymujemy zatem od razu

R

ds

dat

1 ds

T dÓ

la

77'

Ponieważ umiemy już konstruować normalną do lemniskaty, więc otrzymujemy stąd sposób konstrukcji środka krzywizny.

8) Parabola y² = 2px.

Posługując się metodami różniczkowania funkcji uwikłanych znajdujemy kolejno

yy'=p, yy"+y^,2^0, stąd yV' = -p^z-

Teraz według wzoru (7a):

.    ,2,3/2    , 2 I .    ,,2,3/2    , 2 . _2,3

(y>0) •

R =

(1+/ ) b +(yy) 1 (y +p )

y"    y³y"    -p~

Ponieważ odcinek normalnej n = y/y²+p¹ [231, 1)], więc

3

n

*—?•

2 2 X _y

9) Elipsa i hiperbola ±-j = l.

a b

Zróżniczkujmy tę równość dwukrotnie; otrzymamy

x yy’    _ b²x

-2±-T2⁼⁰» ^sk4^d XV^/= + —2 ab    a

yy

_b²    2    3 ^b* (x‘ A b*

’= + -2~y' > a więc n" = -_Th±7i =-!• a    a \a b ) a

Podobnie jak w poprzednim przykładzie otrzymujemy stąd

(,b*x² + a*y²f²

R=--4ir-—    Cy>*»-

a b

Znaleźliśmy już przedtem [231, 2)] dla badanych krzywych długość odcinka normalnej

V*V+aV

33 G. M. Fichtenholz