0514

515

S 5. Krzywizna krzywej płaskiej

Jeśli x=0, to y'=0 i R= oo. A więc w początku układu krzywa ta jest styczna do osi x i ma krzywiznę równą zeru(’)-

Czasami jako krzywą przejściową stosuje się lemniskatę.

253. Współrzędne środka krzywizny. Wyprowadzimy teraz wzory na współrzędne środka krzywizny. Będziemy oznaczali współrzędne rozpatrywanego punktu M krzywej przez x i y, a współrzędne środka krzywizny S krzywej w tym punkcie przez £ i rj.

Promień krzywizny R = MC (rys. 158 na str. 510) leży na pewnej osi — mianowicie na normalnej skierowanej, która z osią x tworzy kąt a+±n. Rzutując odcinek MC kolejno na osie x i y otrzymujemy na podstawie twierdzenia o rzutach

£-x = Rcos(a+ijt)= —Rsina,

t] — y = R sin (a+iit)=Rcosa.

Stąd dla współrzędnych środka krzywizny wynikają wzory (8)    £=x — Rsina,    t]=y + Rcosa.

Posługując się wyprowadzonymi wcześniej wzorami [251, (6), 249, (15)]:

ds    dx

R = —,    cosa= —

da.    ds

dy

sin a =

ds

dy    dx

da    da

możemy wzorom (8) nadać postać (9)

Jeżeli krzywa jest dana równaniami parametrycznymi (1), to korzystając ze wzoru (4) na a, łatwo jest przekształcić wzory (9) otrzymując ostatecznie

(10)

Z = x —

x,+y;

>2

y,> ¹i=y+

x',²+y',²

x',y!i-x_tiy_t'

Jak widać współrzędne Ł, i rj są tu przedstawione jako funkcje tego samego parametru co współrzędne x i y.

W szczególnym przypadku krzywej danej równaniem y—f(x) wzory (10) przybierają postać

(lOa)

,    1 + y'² ,    1+y²

—y, r, = y + —_7r-

33*

1

Łatwo się przekonać metodami rachunku różniczkowego [134, 135], że znaleziona funkcja R(x) maleje tylko do punktu ¹=0,946 \Jq, gdzie osiąga minimum równe 1,390 \Jq. W praktyce wykorzystuje się tę tylko część krzywej.