0518

519

§ 5. Krzywizna krzywej płaskiej

255. Własności ewolut i ewolwent. Znaleźliśmy już parametryczne przedstawienie ewoluty w postaci

£,=x —Rsina, rj=y + Rcosct;

x, y, R i a są tu funkcjami parametru. Załóżmy teraz, że istnieją i są ciągłe pochodne trzeciego rzędu funkcji x i y względem parametru (^x). Wówczas równania (8) można zróżniczkować

d£ = dx —R cosa da—dR sina, dr\ — dy — R sin ada + dR cos a.

Korzystając z tego, że

ds

da

Rcosada=

dx

— da — dx, ds

ds dy

R sin a aa = — • — da = dy, da ds

otrzymamy ostatecznie

(11)    dę=—sinadR, dą=cosadR.

Ograniczymy się teraz do rozpatrywania takiego luku krzywej, w którego punktach promień krzywizny i? jest różny od zera i od nieskończoności i przy tym dR jest także różne od zera. Tym samym wykluczamy punkty osobliwe i na krzywej i na jej ewolucie. Ponieważ dR±0, więc promień krzywizny zmienia się monofonicznie — albo stale rośnie, albo stale maleje.

Dzieląc stronami drugie z równań (11) przez pierwsze znajdujemy

dtt    1    1

— = —ctga= --—=---• dź    tg a    dy

dx

Zatem współczynnik kierunkowy stycznej do ewoluty równa się odwrotności współczynnika kierunkowego stycznej do krzywej ze znakiem przeciwnym. Styczne te są wobec tego prostopadłe. A więc

1° normalna do ewolwenty jest styczną do ewoluty (w środku krzywizny).

Rozpatrzmy rodzinę normalnych do ewolwenty. Zależą one od jednego parametru, np. od tego parametru, który określa położenie punktu na ewolwencie. Z tego co udowodniliśmy wyżej wynika od razu, że ewoluta jest obwiednią tej rodziny normalnych.

Proponujemy czytelnikowi jako ćwiczenie, sprawdzić to na innej drodze. Mianowicie korzystając z równania normalnej

(A'-x)x;+(y-y)y;=0 ¹

1

Zauważmy, że w R wchodzą już pochodne drugiego rzędu.