07 (ODPOWIEDZI)

54

3. Równania, nierówności i ich układy

Mama ma 35 lat, a córka 5 lat.    Niech: x - liczba lat mamy, y - liczba lat córki

Jx + 5 = 4(y + 5)

3. Równania, nierówności i ich układy

55

u) Po 6 godzinach, b) 14 km. Wskazówka, b) Przyjmiemy oznaczenia jak na jmtu obok, gdzie: \OB\ - droga Bartka, \OK\ - droga Kuby, \BK\ = 50 , gdy te R⁺ uh |csl iloczynem szybkości i czasu, więc \OK\ = 81, gdzie t — czas treningu Kuby, oraz 3.14. Barman powinien zmiksować przecier truskawkowy i śmietankę w stosunku 2 : 5. liska::,    .-(, + 1), gdzie t +1 - czas treningu Bartka

x - liczba litrów przecieru truskawkowego, y - liczba litrów śmietanki. Zatem

Zatem

x+10 = 3(y + 10)'

x + y = 1 30x + 16y = 7-20

3.15. Stefan miał 10 zł, a Jan 8 zł.    Oznaczając przez x liczbę złotówek Stefana,a przez y lii

złotówek Jana, otrzymamy układ równań

[x-l = y + l

x + 2 = 2(y-2)’

3.16. Karol rowerem przejechał 18 km, a pieszo 10 km.    Niech: Sj i t_l — droga i czas piei

szego odcinka trasy, s₂ i t₂ - droga i czas drugiego odcinka trasy oraz 5, = /,«, i s₂ = t₇v₂.

t, +t₂ =3—

Wtedy

.s, +5, = 12-2-

j , czyli

; j^ti^+t2=h

i|,|i iwierdzenie Pitagorasa w trójkącie BOK mamy (8t) + [2(1 + 1)] -50‘.

II 15 kostek.    cz³+7 = (a + l)³-12, gdzie a to długość krawędzi sześcianu i ae {1,2,...}.

•i ,i)l° /(x)>0,gdy xe(-°o;-2)u(4; + oo), 2° /(x)<0, gdy xe (-2;4), 3°/(x)>0,gdy i ,.,_;-2}u(4; + °°), 4° /(x)<0, gdy xe (-2; 4), d) 1° nierówność /(x)>0 nie ma rozwiązania,

/1, )<0, gdy xe i?\{-4), 3° /(x)>0,gdy x = -4, 4° /(x)<0,gdy xeR,

|" /'(x)>0, gdy xeR, 2° nierówność /(x)< 0 nie ma rozwiązania, 3° /(x)>0,gdy xeR, nierówność /(x)< 0 nie ma rozwiązania.

112t, + 5t? — 28

stąd

3.17. Liczba a- 83 lub a-92.    Niech: x - cyfra dziesiątek i xe {1,2,..., 9}, y- cyfra

jedności i ye {0,1,2,..., 9}, czyli liczba a jest postaci 10x + y .

J1 Oy + x < — (10x + y) i    2    , czyli

[x + y-1

x>-

209

27    , więc

[y = ll-x

y = 3

lub

x = 9 y = 2'

/7

3 3

II n) xe(-«;-l)u    , b)xeJ?, c)xe(3;5), d) xe (-<*>;0)u(y;+<» I, ^

3.18. a) x, - -— , x₂ - 0 , b) y, = -5, y₂ = 5 , c) nie ma rozwiązania, d) x, =-—, x₂ = 5— ,

V3

e) x, = ——, x₂ = V3 , 1) x, = -2, x₂ = 1.

1 1

3.19. 30.    :wka. —x —x = x i x*0.

5    6

3.20.    7 i 5.    Niechx i 12-x - składniki liczby 12, wtedy x²+(12-x)² =74.

3.21. 27.    Niech 10x + y - szukana liczba, gdzie y = x + 5 wtedy j^®^{,x +} J'X^{jr +}J>)

[y = x + 5

zatem (llx + 5X2x+5)=243.

Niech x — pierwsza liczba, 4 —x - druga liczba. Wystarczy uzasadnić, że równanie x(4—x)= 5 nie ma rozwiązania (jego wyróżnik A jest ujemny).

3.23. 27 i 28.    «(w + l)=756, gdzie n to mniejszaz szukanych liczb i ne N⁺.

3.24.    Liczby:-9,-7,-5 lub 5,7,9. nówki k² + (k + 2)² + (L + 4)² =155, gdzie ke C .

3.25.    0 10%. a:::,wka Isposób

V2

(5; 7), g)xe|-V2; —

h) x€ (-°°;0)u(2^;+°°), i) nierówność nie ma rozwiązania, j) nie-

Iiość me ma rozwiązania, k) xe [    —— |u(5; + °°), l)xe/J, m) xe ( 2;2),

, _e (_ oo_; _ 3) _u (3_; + oo)_; o) nierówność nie ma rozwiązania, i u) xe (-~;0)u(4; + «>), b) xe (-<*>;-4)u(2;+°°), c)x₀=4.

.-.a)8, b) 6, c) 9, d) 5, e) 8, 1)4. kosówka a) xe (1; 8) i xe N , b) xe (2; 9) i xe IV, (-3;9) i xe N, d) xe (-3; 5) i xe N , e) xe (-5; 7) i xe N , f) xe l-2^;3^) i xe N .

i    Gdyby takie dwie liczby istniały, to by należały do zbioru rozwiązań nierówności

M x)> 132, gdzie x to jedna z tych liczb, a 23-x to druga z tych liczb.

I.a) xe(-oo;-6)u(6; + «>), b )xeR, c)xeR\{l}, d) xe (-2^2; 242), e) nierówność nie ma

9 W9    )

o;--u —; + <*> .

4j U    j

U skaz o w ki Wartość ułamka jest dodatnia, gdy licznik i mia-,vnik są jednakowych znaków. Wartość ułamka jest ujemna, gdy licznik i mianownik są różnych znaków. 15. u) x, =0, x₂ =3 , x₃ =4l, x₄ =-4 , b) x_l = 1 + V2 , x₂ =\—Jl, x₃ =4, c) x, = 0, x₂ =-2 ,

wiązania, f) xe

3 , d) x, = -4, x₂ = -—, x₃ = i, e) x, = -2, x₂ - 2 , x₃ - -—. ^x4 -    , 0 ^x\ - -^2, x₂ sf?.

x₂=-V3 , x₃=V3, b) x, = 0, x₂ = 1, c) x,=-2, x₂=--, x₃=-, d) v,

5    5    5a/3    5V3    _    .    ,    R * ■ J \

^=-|, e) x,=-l, x₂=-—, x₃= —, f) x,=-l, x₂=l, x₃=-V3, *„    \

każdorazowej obniżki i xe(0; 100). II sposób: x • 50+x • (50 -x- 50)= 9,50 , gdzie x to część o jaką obniż)    a) x²(3x-2)-3(3x-2)=0, b)x²(x-l) = 0, c) 9x²(x + 2)-16(x + 2) 0,

^5,1 f ⁵⁰~77W⁵⁰l~77r~f³0—— 501=40,50,

[    100    ) 100 ^    100 J

Ki. a) Xj = —, x₂

gdzie x to liczba proci

no cene towaru i xe CO: 1L

9x²(x+3)-25(x+3)=0, e) 27x²(x + l)-25(x + l) = 0 , 1) 3x²(x²-l)-9(x² l) 0