e2

Egzamin pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2008/2009

ZADANIA

X+y-Z—1=G x 4- 3y + 3a - łl *» 0

Wykazać, że proste

te leżą w jednej płaszczyźnie Wyznaczyć równanie tej płasczyzny w postaci ogólnej oraz w postaci parametrycznej

Zad.Z2 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Sprawdzić, czy funkcja f(x,y,z) = Xy/y — x² - y + 6x — z² ma w punktach Pi(4,4,0) oraz Ą(2,0,1) ekstremum lokalne. Jeżeli tak, to określić rodzaj ekstremum i obliczyć jego wartość

Zad.Z3 (8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami. 9x² + 4y² = z i z = 36.

Zad.Z4 (8p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny OXY bryły V określonej nierównościami: x* + y^ł < x², x² + y² + z² < 1 o gęstości g{x,y, z) = 4xz.

Zad.25 (8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Metodą uzmienniania stałych dla x £ (0, +oo) rozwiązać równanie różniczkowe liniowe rzędu

_p3x

drugiego: y" - 6y' + 9y = -_T.

Max 40 pkt

TEORIA

Zad,Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać interpretację geometryczną iloczynu wektorowego Obliczyć pole trójkąta zbudowanego na wektorach d = p - 3<f i 6 = 2p + (f, jeżeli |p] = 2 , |<f] = 1 i <(p,q) — |.

Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie l]

Podać definicję różniczki zupełnej dla funkcji f(x,y,z). Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji /(x,y,x) * ;rtg y + ln: w punkcie Pq(1,0, 1) dla dowolnych przyrostów dx,dy,dz.

Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Sformułować twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej. Sprawdzić, że równanie 3t² e* + arcsin (xy) + y — 3 = 0 przedstawia w pewnym otoczeniu punktu Po(l, 0) funkcję uwikłaną y * y(r)

Zad.T4 (4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Wiedząc, ie funkcja yo * Ci + Cić* sin 2x + cos 2x jest całką ogólną równania liniowego jednorodnego: y^m - 2y” + 5y' = 0, metodą przewidywali wyznaczyć (przewidzieć, bez wyznaczania stałych) całkę szczególną równania: y"' - 2y" + 5y' = x² + sin 2x.

Zad.TS (4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Podać postać równania Bernouliego (wraz z odpowiednimi założeniami). Sprowadzić równanie y' - 4ry ^m    do postaci równania liniowego.

Max. 20 pkt