Egzamin 12 13

Egzamin pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 1, r.ak. 2012/2013

ZADANIA

Zad.Zl [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = \fx Zad.Z2 [lOp - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Dana jest funkcja f(x) = (1 + x)^x.

a)    Napisać równanie prostej stycznej do wykresu funkcji /(x) w punkcie o odciętej i = 0.

b)    Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 1,02^0,02.

Zad.Z3 [lOp - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

X

Dana jest funkcja f(x) = *Jx ln —.

a)    Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji f{x).

2e f(_x\

b)    Obliczyć /    - - dx

1 x

Zad.Z4 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Obliczyć / --

o sin z -

dx

Zad.Z5 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Zbadać ciągłość funkcji (określić rodzaj punktów nieciągłości): x + 1 + ]x|

f(x) =

2x

arcctg x sin to

x

Max. 40 pkt

TEORIA

Zad.Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać twierdzenie Rolle’a i sprawdzić, czy funkcja f{x) — (|x| - l)² spełnia założenia tego twierdzenia w przedziale [-1,1].

Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = e¹ w otoczeniu punktu x₀ = 1 ■

Zad.T3 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Korzystając z definicji Cauchy’ego granicy funkcji wykazać, że lim(3x - 8) = -5.

Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Podać definicję ekstremum lokalnego funkcji. Czy funkcja /(x)    = j ^    ^ — 1 ^ma

ekstremum w punkcie x = 1.

Zad.T5 [5p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Sformułować twierdzenie Leibnitza-Newtona. Podać interpretację geometryczną całki nieoznaczonej.

2 _

Korzystając z tej interpretacji obliczyć / \/4 - x² dx

a

Max. 20 pkt