Egzamin 08 09

Egzamun pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2008/2009

ZADANIA

Zad.Zl [lOp - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Dane jest pole wektorowe F(x, y, z) = (2y - 6xy³,2x - 9x²y²,6).

a) Obliczyć divF. b) Wykazać, że F jest polem potencjalnym oraz wyznaczć jego potencjał, c) Obliczyć całkę

J (2y - 6xy³)dx + (2x - 9x²y²)dy + 6dz_y AB

gdzie AB jest lukiem krzywej { // = £x², z = 6} łączącym punkty >1(0,0,C) i #(2.2,6).

Zad.Z2 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Obliczyć masę łuku krzywej L : x(t) = a¹ cost , y(t) = e^f sin t z(t) = e¹ , t € (0,1), której gęstość wyraża się wzorem: g(x,j/, z) = z .

Zad.Z3 [9p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Napisać równanie stycznej do krzywej o równaniu

w punkcie odpowiadającym t₀ = §. Jaki kąt tworzy ta styczna z osią OZ? Obliczyć krzywiznę krzywej r(t) w punkcie Łq.

Obliczyć /⁽⁶¹⁾(2) dla funkcji /(x) = - -

Znd.Zd (6p - rozwiązanie piszemy na stronie 4)

Zad.Z5 (9p - rozwiązanie piszemy na stronie 5] Niech

xe (0,1) ^ i (o,i)

będzie gęstością rozkładu zmiennej losowej X . Wyznaczyć stałą C. Znaleźć wzór na dystrybuantę zmiennej losowej X . Obliczyć P(-l ^ X ^ J) oraz EX .

Max. 40 pkt

TEORIA

Podać kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu liczbowego. Zbadać, czy szereg £ “mTTT

nas 1 U

n=l

zbieżny.

Zad.T2 [5p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Podać twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu potęgowego. Promień zbieżności sze-

n=l 8ⁿ y/2n + 8

określić jej rodzaj) szeregu w lewym krańcu przedziełu zbieżności.

Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Podać własności dystrybuanty rozkładu zmiennej losowej typu ciągłego. Dla jakich wartości parametru A

jest dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego?

Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3)

Zmienna losowa X ma rozkład JV(1,4). Za pomocą tablic obliczyć P( 1 < X < 7). Podać wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 3A' - 4. Jaki rozkład ma zmienna losowa V'?

Zad.Tó [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Podać założenia i tezę twierdzenia Greena.

Max. 20 pkt