egzamin matma 12,13

Egzamin pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 1, r.ak. 2012/2013

OTDAisrre

Zad.Zl [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji /(x) = 2~* \fx Zad.Z2 [lOp - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Dana jest funkcja /(z) = (1 + x)^x.

a)    Napisać równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie o odciętej x = 0.

b)    Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia l,02°‘^O2.

Zad.Z3 [lOp - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Dana jest funkcja f(x) = y/x ln -.

a)    Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji /(x).

2c f(_x)

b)    Obliczyć /    ^ dx

2 x

Zad.Z4 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Obliczyć

dx

o sin x - 1

Zad.Z5 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Zbadać ciągłość funkcji (określić rodzaj punktów nieciągłości): z + 1 + |x|

/(*) =

2x

arcctg x sin7rz

X

Max. 40 pkt

TEORIA

Zad.Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać twierdzenie Rolle’a i sprawdzić, czy funkcja /(x) = (|x| - l)² spełnia założenia tego twierdzenia w przedziale [-1,1).

Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1)

Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = e^z w otoczeniu punktu xo = 1 .

Zad.T3 (3p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Korzystając z definicji Cauchy^łego granicy funkcji wykazać, że lim(3x - 8) = -5.

Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Podać definicję ekstremum lokalnego funkcji. Czy funkcja f(x) = j ^ x — 1 ^ma ekstremum w punkcie x = 1.

Zad.T5 (5p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Sformułować twierdzenie Leibnitza-Newtona. Podać interpretację geometryczną całki nieoznaczonej.

2 _

Korzystając z tej interpretacji obliczyć / \/4 - x² dx

o

Max. 20 pkt