kolokwium nr1 12 13

Kolokwium nr 1 z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013

Zad.l. [ 8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 ]

Wykazać, że pole wektorowe

F(x, y, z) = [2 sin(y + z) - e^v+2z , 2x cos(y + z) — x e^v+2z , 2z cos(j/ + z) -/x e^y+2“ + 2z]

jest potencjalne. Wyznaczyć potencjał tego pola a następnie obliczyć całkę

J (2 sm(y + z) - e^y+Sl) dx + (2z cos(y + z) - xe^v+2z) dy + (2x cos(y + z) ~(xe^v+2z + 2z) dz,

L

gdzie luk L : y = Vl - z², z = z — 1 dla i € [0,1].

Zad.2. [ 6p - rozwiązanie piszemy na stronie 2 ]

Oblicz / yi² + y² di , gdzie L jest okręgiem o równaniu i² + y² = 2x .

L

Zad.3.    [ 2p+4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 ]

a)    Sformułować twierdzenie Greena.

b)    Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć f y dx + 2z dy , gdzie luk L jest brzegiem kwadrat

L

o wierzchołkach 0(0,0) , 2ł(l,0) , 19(1,1) , C(0,1) zorientowanym ujemnie względem sweg wnętrza.

Zad,4.    | 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 ]

Wyznaczyć równanie prostej binormalnej i płaszczyzny normalnej do krzywej

r{t) =

^2t-h^t+v

Jt.

t³

w punkcie odpowiadającym to = —1.

Zad.5.    [ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 5 ]

Wykazać, że krzywizna i skręcenie krzywej L : {2y = z², 6z = z³} są sobie równe w każdyi punkcie krzywej L.