1

Kolokwium nr 1 z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2007/2008

Zad.l. [ 4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 ] Rozwiązać układ równań:

Xi	+ X2 + 2x3 + Xą	= 5
2x]	, + 3x2 - x3 - 2x4	= 2
4x]	+ 5x2 + 3l3	= 7

Zad.2.    [ 3p+4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2 ]

a)    Podać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów oraz dwie wybrane własności iloczynu skalarnego.

b)    Obliczyć długość wektora £ = 3a + b — 2c wiedząc, że |a| = 2 ,    \b\ = 1 ,    |c| = 4 i

<(a, b) = <(b,Ć) = | , <(a, ć) = \ .

Zad.3.    ( 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 )

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez proste:

I x = 3 + t

h ■ < y = i - t

z = -1 - 2t

,    . x + 1 _ y _ z

²    2    ~ -2 ~ -4

Zad.4.    [ 2p+2p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 ]

a)    Podać definicję wartości własnej macierzy kwadratowej A.

b)    Czy A = 2 jest wartością własną macierzy

0

3

2

0

0

4

Zad.5.    [ 4p - rozwiązanie piszemy na stronie 5 ]

Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji

f(x) = arccos (x² + y² - 2) +    ^^X^ =

V2x-y²

Podać ilustrację graficzną zbioru V . Wskazać (podać) co najmniej jeden punkt wewnętrzny i jeden punkt brzegowy tego zbioru.

Zad.6.    [ 6p - rozwiązanie piszemy na stronie 6 ]

x²    y²

Napisać równanie płaszczyzny stycznej do paraboloidy eliptycznej o równaniu z — — + — , gdzie

a    b

(1 + 3 i)²

a = Rew , b = Imw dla w = - i równoległej do płaszczyzny 2x - 14y + 7z — 1 = 0.

-1 +1