img016

16

Oowód twierdzenia 1.3 został więc zakończony.

Definicja 1.5. Zbiór ACZ nazywamy zbiorem ograniczony w prze-ST-zeni metrycznej (Z,d), Jeśli istnieje kula (otwarta lub domknięta)

* cej przestrzeni, która zawiera zbiór A.

Zaznaczmy, za ten sam zbiór Ac Z może być ograniczony w przestrzeni łZ,d) i nieograniczony w przestrzeni (Z,dj).

Przykład

O

w przestrzeni dyskretnej (R .d^) każda figura płaska Jest zbiorem ograniczonym. W szczególności takim zbiorem Jest ustalona prosta 1CR². Nietrudno Jednak stwierdzić, że 1 jest zbiorem nieograniczonym w dwu-

2

wymiarowej przestrzeni euklidesowej E .

Twierdzenie 1,4. W przestrzeni metrycznej (2,d) zbiór punktów cięgu

zbieżnego jest ograniczony.

m

0 o w ó 6. Jeśli lim x » g (w sensie motryki d), to pozo kulę ■ ⁰⁰ _{Ł 2}

K(g,l) leży skończona ilość punktów cięgu ........ Oznaczmy Je przez

i. i_n

x ,...x i niech

r - «ax [d(x* g).....d(x? g),l ]

Wówczas wszystkie punkty cięgu J,x,... leżę w kuli K(g,r) co oznacza, ża zDiór punktów rozpatrywanego cięgu Jest ograniczony*

Zbiory otwarte i domknięte

Niech (Z,d) będzie przestrzenią metrycznę, A zaś dowolnym podzbiorem zbioru Z.

Definicja 1*6* Wnętrzem zbioru A, które oznacza się symbolem Int A, nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A tj. punktów ae2. dla których iatnleje kula K(a,r) zawarta w zbiorze A,

W definicji 1.6 mówimy o kuli w przestrzeni (Z.d), a więc Int A założy od przestrzeni, w której zbiór A został umieszczony.

Przykład

Wnętrze koła K(e,r) rozpetrywanogo w przestrzeni £², będź też w przestrzeni    Jest zbiorom pustym. Natomiast tp samo koło, ale roz

patrywane w przestrzeni E² lub w przestrzeni E_g ms wnętrze złożone ^Zf> wszystkich punktów tego koła.

Przykład powyż®2y wekazuln, że powinniómy w zasadzie pisać Int,-- ,»A, zamiast Int A.    ‘ •*