img050

50

O o w 6 o wystarczalności, Rozpatrzmy dowolny zbiór nieskończony ACZ i niech x & A. Stosujemy założenie dla € ■ 1. Oznacza to, że możemy pokryć zbiór A skończony ilości? kul o promieniu 1, wśród których istnieje taka, « której zawarty Jest nieskończony podzbiór A^C A.

xo

Oznaczmy tę kulę przez    i wybierzmy w zbiorze    drugi punkt x /

Stosujęc założenie dla £ • ^ stwierdzamy, że zbiór    możemy pokryć

skończony ilości? kul o promieniu ^ . Wśród nich istnieje kula K₂, któ '•a zawiera nieskończony podzbiór ^A2^cAi l*d. Ostatecznie otrzymujemy cięg podzbiorów AOA^Ag ... o tej własności. Ze A^ zawiera się w xuli    o promieniu j oraz i £    (1*1,2,...).

Pokażemy, że cięg x,J,?,... jest fundamentalny. Istotnie, jeśli _    k 1    2

k<l, to K_k^A_koAj i dlatego d(x_#x)4^ • Stęd już prosto wynika, że cięg x,x,x,..« jest cięgiem podstawowym, co należało wykazać.

Ćwiczenia

4*i. Niech Z_<d    oznacza zbiór funkcji rzeczywistych, które sę

ciygłe na odcinku <e,b> C R. Pokazać, ze funkcjonał

b

^{F! z} < a ,b> ^{3 f} ~*J ^f<t!<Jt

a

jest cięgły w zbiorze ^z<a b> " ^sen9le «'®trykl Czebyszewa (zobacz orzykład 4 na stronie ll)♦

4.2.    Niech (Z,d) będzie przestrzeni? metryczny, która nie jest kompaktem. Skonstruować funkcję f:Z—*R, która jest cięgła w zbiorze Z, ale nie jest ograniczona.

4.3.    Zakładamy, źa kompakt (Z.d^) jest zanurzony w przestrzeni metrycznej (Z.dj). Pokazać, że z dowolnej rodziny zbiorów otwartych

P «    {^Pcc)oC e T* tóra pokrywa zbiór Z można wybrać skończony podro-