img052

52

4.2.    (Z,d) jest przestrzenią metrycznę. Pokazać, że Jeśli fjZ —*• R je6t cięgła w Z, to i funkcja Z3x-» 1f(x)l jest cięgła w 2.

4.3. Pokazać, źe w przestrzeni Eⁿ każda kula domknięta K(s,r) wraz z metrykę d^ Jest kompaktem.

4.4.    Dowieść, że w przestrzeni euklidosov,Qj £ⁿ każdy zbiór domknięty i ograniczony ACRⁿ wrez z metrykę d^ JQ3t kompaktem.

4.5.    Niech kompekb (Z,d^) będzie zanurzony w przestrzeni metrycznej (Z_J#d). Czy zbiór Z może być nieograniczony w przestrzeni (Z^,d)?

4.6.    Sprawdzić, że przestrzeń metryczna (R,f>) (zobacz wzór (2.2)) jest kompaktem. Czy (R,(>) jest lokalnie kompaktyczna?

4.7.    Podać przykład przestrzeni (Z,d), która nie Jest kompaktem i takiej funkcji f:Z~►R, która jest cięgła w Z, ale

a)    nie osięga w zbiorze Z ani wartości największej, ani wartości najmniejszej,

b)    nie Jest ograniczona w zbiorze Z.

4.8.    Korzyetejęc z twierdzenia Hausdorffa udowodnić, że w n wymiarowej przestrzeni euklidesowej 6ⁿ każdy nieskończony i ograniczony zbiór ACRⁿ wraz z metrykę d_k Jest przestrzeni* prezwartę.

Wskazówka, w zbiorze A istnieje tylko skończona ilość punk-

k

tów, których wszystkie współrzędne aę postać-. ■ , qdzie kim 9ę

2ⁿ

liczbami całkowitymi,

4.9.    Wykazać, że jeśli (Z,d) jest kompaktem, to istnieje cięg

A • | x,x,•.,j C Z taki, że ^C*(z d'^A *

Wskazówka. Rozpatrzyć połęczenie wszystkich i - sieci zbioru Z (m»l,2,.•.).