img201 (2)

Rachunek prawdopodobieństwa

114

Wyznaczymy wzór na liczbę takich ciągów.

Na początek obliczmy, ile byłoby takich liczb dwucyfrowych, gdyby zbiór A był np. siedmioelementowy. Otrzymujemy 7 6 = 42. A liczb trzycyfrowych? 7 6 5 = = 210. A pięciocyfrowych? 7 6 5 4 3 = 2520.

Znajdźmy teraz pewne wspólne własności tych liczb. Zacznijmy od ostatniej. Wyraźnie przypomina ona liczbę 7!, brakuje tylko iloczynu 2-1 Ale możemy zapisać:

7 6 5 4 3

_7 65432 1_ 7!_    7!

7 6 5 = 4=    ^7!

4!    (7-3)!

7 6 = 4= ^7!

5!    (7-2)!

2 1

2!    (7    5)!

(dla liczb pięciocyfrowych) (dla liczb trzycyfrowych) (dla liczb dwucyfrowych).

Okazuje się, że prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Tm twierdzenie

Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego (n, k e N₊, n> k) wyraża się wzorem:

Zauważ, że gdyby n = k, to wariacje bez powtórzeń stałyby się permutacjami bez powtórzeń.

Powróćmy do początku rozważań o wariacjach. Niech znów A = {1,2, 3, 4}. Obliczmy, ile jest różnych liczb dwucyfrowych, których cyfry należą do A, ale tym razem załóżmy, że cyfry mogą się powtarzać. Wypiszmy wszystkie takie liczby

11, 12, 13, 14,

21,22, 23, 24,

31 32, 33, 34,

41,42, 43, 44.

Jest ich 1 6. Zauważamy, że wśród nich jest 1 2 liczb, w których cyfry nie powtarzają się, znanych nam z rozważań dotyczących wariacji bez powtórzeń. Dodatkowo jeszcze występują 4 liczby.

Niech teraz B = { , -}. Wypiszmy teraz wszystkie czterowyrazowe ciągi, których wyrazy są elementami zbioru B: