100(1)

452. f	453. f ^dx
J5^2f	J 2x+5
454 f ^dx - J (3x+2)^3	455. i ctgxdx

§ 2. Całkowanie przez rozkład na sumę całek

Jeżeli funkcja podcałkowa jest sumą algebraiczną kilku składników, to na mocy własności IV możemy każdy składnik całkować oddzielnie.

Opierając się na tym twierdzeniu wiele całek można sprowadzić do sumy całek bardziej prostych do obliczenia.

456. Obliczyć całki:

1) f(3x²-2x+5)dx    2) f- ^2X ^~¹- dx 3) / (1 +e^x)²dx

⁴) /5 ^dx    5) J J^.i^dx 6) /tg²?#

Rozwiązanie: 1) Całkując każdy składnik oddzielnie (wg wzoru 1), otrzymamy

| (3A.^-2—2x+5)dx = J 3x?dx— f 2xdx-\-j 5dx = 3 J x¹dx—

—2 J xdxĄ-5 J dx — 3*    — 2-4^- + 5*+C = *³—3Ć-\-5xĄ-C

2)    Rozkładamy funkcję podcałkową na składniki. W tym celu dzielimy poszczególne wyrazy licznika przez mianownik. Następnie całkujemy osobno każdy ze składników

-dx= 2 (    + j x~²dx—J' x~³dx =

='21n |jc| -

J* 2x?-\-x— 1

4) Ułamek pod znakiem całki przedstawiamy jako sumę dwóch ułamków, a następnie całkujemy wg wzorów 2 i 9

C 2x+3    f 2xtA. . . f dx

J 7=T^{dx =} ) !f^s⁺³) -?=r-

= lnl*²—S|+—-=rln 2\ 5

+C

¹ X— ]/5"

c+j/5

5)    Dzieląc licznik przez mianownik wyłączamy z ułamka niewłaściwego¹¹ pod całką część całkowitą, a następnie całkujemy

j * - /(i--tU-) *-/*-/    " *-*««*+^c

6)    Korzystając ze wzoru trygonometrycznego i+tg²ae = sec²a, mamy

I tg²<pdf — J (iccrcf— \)dq> = \ sec²tpd<p — ) dtp — tg(p—<p-\-C Obliczyć całki:

457. J (2 I*x-y2x +5) dx

^459V'/^=t*

458. I (siny—cos(p)²d(p 5x²-6x-\-l

460.

I

x^z+6 ^dx

461* ²> j

463. J (e^x—e~^x)³dx

}/x

462. J(tgjc+ctg.v)²£bc 464. ²> f ^i-dx

J X—L

dx

§ 3. Całkowanie przez podstawienie

Nadzwyczaj skuteczną metodą całkowania jest metoda zamiany zmiennej całkowania, co prowadzi do obliczania innej całki zamiast całki danej. Aby obliczyć całkę \f(x)dx zmienną * zastępujemy nową zmienną t, związaną ze zmienną x za pomocą odpowiedniego wzoru x = <p(t). Określając z tego wzoru dx = (p'(t)dt i podstawiając, otrzymamy

Jf(x)dx = f f[<p(t)]<p'(t)dt = f F(t)dt

1

203

1

23?

wg wzorów 2 i 1.

3) Podnosimy do kwadratu i całkujemy poszczególne składniki; otrzymamy

J (l+e^x)²dx = J (\-\-2e^xĄ-e^u)dx —

= J dx+2j e^xdx+^-J e^2xd(2x)=jc+2e*+^e^2x+C

2

0 Algebraiczny ułamek wymierny — iloraz dwóch wielomianów — nazywa się niewłaściwym, jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika.

3

^ł> Tu, podobnie jak w zadaniu 456 (5), należy wyłączyć część całkowi tą-niewłaściwego ułamka wymiernego pod całką.