163(1)

W całce iterowanej I_x funkcja F(a, fi) jest najpierw całkowana względem fi, przy tym oc traktuje się jako stałą, a następnie otrzymany wynik całkuje się względem cc.

W całce iterowanej /₂ całkowanie przebiega w odwrotnej kolejności, najpierw całkujemy względem cc, traktując przy tym fi jako stałą, a następnie otrzymany wynik całkujemy względem fi.

Z reguły przy pierwszym całkowaniu granice są zmienne i zależą od tej zmiennej, która jest przy tym traktowana jako stała. Natomiast granice przy drugim całkowaniu są zawsze stale.

Jeżeli obszar całkowania D jest odniesiony do układu współrzędnych prostokątnych xOy i jeśli jego podział na obszary częściowe jest dokonany przez siatkę prostych równoległych do osi układu (rys. 151), to pole obszaru

częściowego jest równe ds = dxdy (jako pole prostokąta o bokach dx i dy) i J / f(M)dS = /J /(.v, y)dx dy

D    ~D

Jeśli przy tym obszar D ma tę własność, iż każda prosta przechodząca przez wewnętrzne jego punkty i równoległa od osi Oy przecina granice obszaru w dwóch tylko punktach (rys. 151), to obszar ten można przedstawić za pomocą następujących nierówności

<Pi(x) <y    aśżx^b

gdzie: y = cpi(x) i y = <p₂(x) są odpowiednio równaniami dolnej i górnej (A₂M₂B) linii granicznej, zaś a i b są odciętymi skrajnego lewego i skrajnego prawego punktu obszaru D. W tym przypadku całka podwójna wyraża się całką iterowaną o postaci

b

J f f(x,y)dxdy = J dx jf(x,y)dy    (1)

D    a <r,(x)

We wzorze tym całkować należy najpierw względem y, w. granicach od >'i — <Pi(^x) do y₂ = T2M ograniczających zmienność y przy stałej, ale dowolnej wartości x, a następnie — względem x, w granicach od y, = a jo ,v₂ = b, które to wartości są krańcowymi wartościami x (najmniejszą i największą) w całym rozważanym obszarze D.

Jeżeli okaże się przy tym, że dolna lub górna linia graniczna składa się z kilku części, opisanych różnymi równaniami, to obszar D należy podzielić za pomocą prostych równoległych do osi Oy na części, tak aby w każdej z nich linia graniczna dolna i górna były opisane każda'jednym równaniem.

y

c

Rys. 152

Wa

b x

y

h

c

0

u

x

Rys. 153

c

Na przykład obliczanie całki podwójnej po obszarze D, przedstawionym na rys. 152, sprowadza się do obliczania dwóch całek iterowanych

I I udxdy — f I udxdy + | J udxdy

D

udy

a

TiC-O

c

?l(*>

Jeżeli natomiast proste równoległe do osi odciętych Ox i przechodzące przez punkty wewnętrzne obszaru D przecinają jego linię graniczną tylko w dw óch punktach (rys. 153), to obszar można określić nierównościami o postaci

gdzie: x = ip₁(y) i x = y>₂(y) są odpowiednio równaniami lewej (CNJI) i prawej (CN₂H) linii granicznej, a c i h są rzędnymi skrajnych (dolnego i górnego) punktów' obszaru D.

329