184

366 XVIII. Całki funkcji przestępnych

Zauważmy, że —    a więc cos ?>0. Wracając do (1) i podstawiając z powrot,

r=arcsin*, sin/=x, cos t—\!\-x²

otrzymujemy

J (arcsin x)² dx = x(arcsin x)² + 2\Jl-x² arcsinx — 2x+C .

Zadania

Obliczyć całki (zad. 18.91-18.112);

f *²

18.91.    ~-j arcsin x dx.

J JT^T²

18.93. | -

. f_ ______

arctg x dx.

18.95

dx

"J

18.97

(1 -f 4x²) (arcctg 2x)² dx

18

>.92. I____

J Va^?j³

r dx

.94.    -_    ■

J (1+9*²) V arctg 3*

f (arctg x)²

M. j

arcsin x

x²+l

dx.

x² arccos² x

x arctg x dx

2\2

(1 + X²)

18.101. J X arcsin x dx.

r dx .98.    -------------

J \/l-*² ai

C x arcsi

^,810°- J ^m-|

18

18,

arcsin x

arcsin x dx

x arctg x dx

(.x² — l)²

18.103. J x² arctg x dx.

18.104.

arctg e^+x e^ix(l +e^x)

dx.

18.105. j

arcsin x dx

18.106. |

arcsin e

dx.

18.107. J x³ arctg x dx.

18.108. J(2*+3) arccos (2*-3) dx ■

18.109. J

x arctg x

VI

+x^x

dx.

18.111. J x (l-f*²) arctg x dx.

18.110. Js/l-x² arcsin x dx .

f . 2J*

18.112. I arcsin —

J 1-

i+x

dx.

_§ 18.4. CAŁKI FUNKCJI WYKŁADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH

Całki typu BCe¹), gdzie R(v) oznacza funkcję wymierną zmiennej v, obliczamy

podstawiając

dt

e^x=t (t>0, t#l), skąd x=ln t,dx= — ■

Zadanie 18.113. Obliczyć całkę

r$±ł*.

j «*-i

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że z#0. Wykonujemy podstawienie e^x = t, gdzie (>0; otrzymujemy

J e — 1 J (r — 1) r

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych

f + 1 A B

(l-l)t t-1    t

Stąd t+\=At + Bt-B i po obliczeniu mamy A = 2, B- -1. Jest więc

f+ 1    2    1

Całkujemy

= 2 In Z — 1 — In t.

f(t-l) l-l ł (t + l)dł

t(t~D

Ostatecznie otrzymujemy

f e^x + l

——-dx = 2ln\e^x—l\—x + C (*7*0).

Zadanie 18.114. Obliczyć całkę

(• e^xdx

J e^x+e~^x'

Rozwiązanie. Wykonujemy podstawienie e^x=u, gdzie u>0. Mamy e^xdx=du ¹ P° podstawieniu otrzymujemy

u H--

u