167 2

332 XVII. Całki funkcji niewymiernych

a następnie

(3)

Ze wzoru (2) obliczamy

(4)

\/x² +k-t-x=t—

t²-k t²+k 2t ~ 2t

1 / k\ t²+k , dx= —( 1 H--2 I = TT dt.

2 \ t* J 21² W ten sposób, uwzględniając związki (3) i (4), otrzymujemy

t²+k

2t

Podstawiamy ? ze wzoru (1) i otrzymujemy wzór

dx

(17.2.2)

\!x² +k

Zadanie 17.36. Obliczyć całkę

f -r = ln|.x + \/:x:²+k| +C.

J V*²+/c

1

n/jc² — 6JC + 15

Rozwiązanie. Zauważmy, że trójmian x² -6x+\5 jest dodatni przy wszelkich wartościach x; piszemy go w postaci    — 6x +15 = (x—3)² + 6. Podstawiamy x-3=t,

skąd dx = dt. Tak więc

f * = f

J y!x² — 6x + 15 J

dt

■Jx² — 6x + 15 J \lt²+ 6

Wracając do zmiennej x otrzymujemy ostatecznie

dx

= \n(t+s/t² +6)+C0).

= ln(jc — 3 +\/x² — 6x + 15) + C.

Jx²-6x + 15 W ten sposób obliczamy każdą całkę postaci

, gdzie a> 0,

dx

\/ax² + bx+c

w przedziale, w którym wyrażenie podpierwiastkowe przyjmuje wartości dodatnie. W ^szcZ

(*) W wyrażeniu po prawej stronie zastąpiliśmy znak wartości bezwzględnej nawiasem, P°ⁿ'^e wyrażenie w nawiasie jest dodatnie dla każdej wartości t.

_gólfl0ści otrzymujemy

(17.2-3)

f

dx

- = ln|x-(4p Wx² +px+q\ +C.

\lx²+px + q

zważmy* że jeżeli wyróżnik A trójmianu x²+px + q jest ujemny, to jest

Vx² + px+<? = V(x + ż p)² +1(- J) >    = |x + i p|,

_wjęc w tym przypadku we wzorze (17.2.3) możemy znak wartości bezwzględnej zastąpić

nawiasem.

Zadanie 17.37. Obliczyć całkę

dx

I

\l a² — x²

Rozwiązanie. Zakładamy, że a^O i |x|<|a|. Ponieważ współczynnik przy x² jest ujemny, więc sprowadzimy całkę do funkcji arcsin t. W tym celu podstawiamy x=at, skąd dx-adt. Jest wówczas

f dx f adt a f dt    .    ,

=    — =7-7-    ,    = sgn a arcsin t( ).

J Va² — x² J \la²-a²t MJ Vl — t²

x

Ponieważ t=x/a, więc w wyniku otrzymujemy sgn a arcsin - . Następnie zauważmy, że

a

jeżeli a>0, otrzymujemy w wyniku arcsin -; jeżeli zaś a<0, to — a>0 i wobec nie-

a

parzystości funkcji arcsin x możemy napisać

X    X    X    . X

sgn a arcsin — = — arcsin — = arcsin — = arcsin j-r • a    a    —a    |a|

Niezależnie więc od znaku a otrzymujemy wynik

(17.2.4)

f dx    x

-t= =arcsm 7—7+C

J Va²—x²    M

Zadanie 17.38. Obliczyć całkę

lvir

dx

2x-x²

Rozwiązanie. Sprowadzamy trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej 4 —2x—x²=4 —(x²+2x)=4 + l—(x^z+2;c + l) = 5 —(* + l)².

(^l) Symbol sgn a (czytaj: signum a) określamy następująco: sgna= +1 dlaa>0, sgn a= —1 dlaa<0

^sgn0=0. Signum po łacinie oznacza: znak.