171 2

340 XVII. Całki funkcji niewymiernych 1

gdzie W_n(x) jest wielomianem stopnia n. Całka (1) równa się wyrażeniu

340 XVII. Całki funkcji niewymiernych 1

(2)

y] ax² +bx + c + A J

dx

\lax² +bx+c

gdzie W„-i(x) jest wielomianem stopnia n— 1, a A pewną stałą.

przy.

Współczynniki (nieoznaczone) wielomianu fV„-_t(x) oraz stałą A obliczamy równując

\!ax² + bx+c

(to jest pochodną tunkcji (1)) do pochodnej wyrażenia (2).

Zadanie 17.46. Obliczyć całkę

(1)

'=1

6x³-22x²+2lx-l y/x² — Ax + 3

dx.

Rozwiązanie. Będziemy rozważali daną całkę w jednym z przedziałów: bądź x<l, bądź x>3.

Całkę tę możemy obliczyć metodą współczynników nieoznaczonych. W metodzie tej przewidujemy, że całka nasza będzie równa wyrażeniu następującej postaci:

(2)

J-

— 22at +21 jc — 7

J x² -Ax +3

dx =

= (ax² +bx+c) y/x²- 4x + 3 +A

I

dx

s/x²-4x + 3

Aby wyznaczyć współczynniki a, b, c, A, różniczkujemy obie strony powyższej tożsamości i otrzymujemy

6x³—22x^z+21x —7 y/x²-Ax + 3

s (2 ax + b) \! x² — Ax + 3 + (a x² + bx + c)

2x — A

2yJ x² — Ax + 3

A

yj X² — Ax + 3

Mnożymy obie strony tożsamości przez \lx² — 4x + 3; mamy

6x³ — 22x² + 2 lx - 7 s (2 ax + b) (x² — 4x + 3) + (ax² + bx + c) (x — 2) + A s

= 3ax³ +( — 10u +2b)x² +(6a—6b +c)x+(3b — 2c + A). Przyrównujemy teraz kolejno współczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej *•

6 =	3a ,	skąd	a=2,
-22 =	— 10a+2b ,	skąd	b=-1
21 =	6a—6b+c,	skąd	c = 3 ,
-7=	3b — 2c+A ,	skąd	A=2 .

^stawiając obliczone współczynniki do równości (2) otrzymujemy I=(2x²-x+3) Jx²-4x+3+2 J

\!x²—4x+3

Ostatnią całkę możemy napisać w postaci

dx

l

V(*-2)²-l '

podstawiamy x—2=t i na podstawie wzoru (17.2.2) otrzymujemy

= ln I*—2+\/x²—4x+3|.

I

dx

ylx²—4x+3

Ostatecznie jest więc

/=(2x²-x + 3)Vx²-4x+3+21n|x-2+Vx⁵^4x+3| + C.

Zadanie 17.47. Obliczyć całkę /= J(3x—2) \^!x² - 2x dx.

Rozwiązanie. Będziemy rozważali daną całkę w jednym z dwóch przedziałów: bądź x<0, bądź x>2. Funkcję podcałkową mnożymy i dzielimy przez Jx²-2x; mamy

(3x-2)(x²-2x)dx C 3x³-8x²+4x

/ =

\I x² —2x

\!x²-2x

dx.

W ten sposób otrzymaliśmy całkę typu rozwiązanego w poprzednim zadaniu. Piszemy

3x³ — 8x² +4x

dxs(ax²+bx + c)y/x²-2x + A

dx

Vx²^2x ’

\Jx² — 2x

^a następnie różniczkujemy powyższą tożsamość 3x³-8x²+4x    j-z-    ,

—..    —=(2ax + b)yJx²—2x+(ax +bx+c) ,- , --

\^2x    2jx^2x slx²- 2x

Mnożymy obie strony równości przez Vx² — 2x; mamy

3x³ - 8x² + 4x=(2 ax + b) (x² — 2x) +(ax² + bx +c) (x— 1) + A s = 3nx³+(-5a+2b)x²+(—3b+c)x+(-c+^). Zrównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach x:

3= 3a ,    skąd a = 1 ,

— 8=— 5a+2b,    skąd b=— §,

2x—2

+ ■

4=-3 b+c, 0= —c+A,

skąd c=— j, skąd A= .