192 193

Metody wielokryterialne

192

Powyższe zadanie jest dwukryterialnym zadaniem programowania liniowego. Ponieważ chcemy zmaksymalizować jednocześnie obie funkcje celu, jest ono zadaniem wektorowej maksymalizacji.

Wektorową funkcję celu można zapisać następująco:

fl(x„ x2)		2xi + 3jc2
M*i. x2)		■*!+ -*2

W przypadku zadania o dwóch zmiennych decyzyjnych i dwóch kryteriach możliwa jest ilustracja graficzna zadania, zarówno w przestrzeni decyzyjnej, jak i kryterialnej. Zbiór decyzji dopuszczalnych rozpatrywanego przez nas zadania został już znaleziony uprzednio. Przypomnijmy, że jest to czworokąt o wierzchołkach O, A, B i C, przedstawiony na rys. 4.1.

Rysunek 4.1

Dla wielokryterialnych zadań liniowych, w których zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej jest ograniczony', prawdziwe jest twierdzenie, które ułatwia wyznaczenie zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej.

Twierdzenie 4.1

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych zadania wielokryterialne go programowania liniowego w przestrzeni kryterialnej jest wielościanem wypukłym. Każdy wierzchołek tego wielościanu jest obrazem pewnego wierzchołka zbioru decyzji dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej, natomiast pozostałe punkty to zbiór wszystkich kombinacji wypukłych punktów wierzchołkowych.

Przyjęcie takiego zatożenia wydaje się być w praktyce wystarczająco uzasadnione.

Trzeba jednocześnie zauważyć, że zależność odwrotna nie musi zachodzić i może się zdarzyć, że obrazem pewnego wierzchołka z przestrzeni decyzyjnej będzie punkt wewnętrzny wielościanu w przestrzeni kryterialnej.

Narysujemy teraz zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej. W tym celu znajdujemy w tej przestrzeni współrzędne punktów, odpowiadające wierzchołkom zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej. Mamy kolejno:

F(ć>) = F([0, ()])=	0 0	= O',	F(A) = F(|0, 4]) =	12 Ą
F(B) = F([4, 2]) =	14 6	= B',	F(C) = F([4, 0]) =	8 4

Wypukła kombinacja punktów O', A', R' i C', czyli zbiór postaci:

V ⁼ {Y\ y=k| 0^r +    + A-iB + ż.4C , X, + Ż.2 + Ż.3 + Ż.4⁼ 1, Xf,    Ż.3, Ż.4 ^ 0}

jest więc zbiorem decyzji dopuszczanych w przestrzeni kryterialnej. Zbiór ten przedstawiono na rys. 4.2.

Odpowiemy obecnie na pytanie, którą decyzję możemy uznać za decyzję najlepszą. Z rys. 4.2 możemy odczytać, że punkt D' położony „najwyżej” dominuje nad wszystkimi pozostałymi rozwiązaniami dopuszczalnymi w przestrzeni kryterialnej, gdyż zarówno pierwsze, jak i drugie kryterium przyjmują wartości maksymalne. Jest to rozwiązanie dominujące. Odpowiadający mu punkt B w przestrzeni decyzyjnej jest więc rozwiązaniem optymalnym. Warto zauważyć, że ze względu na brak konfliktu między rozpatrywanymi celami, maksymalna wartość obu z nich osiągnięta została w tym samym punkcie.

Rysunek 4.2