234

466 Rozwiązania i odpowiedzi

10.127.

dy cos 21 d²y dx cos t ’ dx²

sin ł cos 2t — 2 sin 21 cos t cos 31

Tor osiąga maksimum, g^y

t = łn + fcn (fc = 0, 1,2, ...), wówczas dyjdx = 0, d²yjdx²=-4; tor osiąga minimum, _g(jy t = %n+kn (k=0, 1,2,...), wówczas dy\dx = 0, a d²y/dx²= 4.

10.128. Odcinek należy przepołowić.    10.129. S_max =

10.130. 5_max = ^a² (kwadrat).    10.131. S_max = 2r² (kwadrat).

10.132. S_max = |r²,/3 (trójkąt równoboczny). 10.133. S_niax=ir².

10.134.    ć>_max=fr² J3 (druga podstawa trapezu równa się r).

10.135.    S_m3X = 2ab (prostokąt o bokach aj 2 i b J2).

10.136.    V_max = ~nr³ y/3 (wówczas wysokość stożka wynosi J J3).

10.137.    V_max=**r³ (wówczas krawędź podstaw},' ostrosłupa wynosi |r).

10.138.    Minimalna objętość stożka równa się podwojonej objętości kuli.

10.139. V_max=$nR³j3. 10.140. P_max = 2ttP².    10.141. h = \aj2.

10.142. Przyjmując za zmienną promień podstawy wpisanego walca x, mamy V= — n j3(Rx²-~x³); maksimum dla x=y$R, wówczas K_max=4^| 7t/?³ ^3.

10.143. h — (l^2l3 — d²¹³)³¹².    10.144. a = max ^arccos —, arctg —j-

10.145.    Kąt nachylenia ścian bocznych równy jest arccos \ (-fi— 1).

10.146.    Jeżeli rzut punktu C na tor kolejowy oznaczymy przez B. to PB=-r=.

V^²-«²

jeżeli

od

V/J²-cr 10.147. yjMm.

<AB; jeżeli

od

^ AB , to szosę należy poprowadzić wzdłuż prostej AC.

Wskazówka. Przy uderzeniu sprężystym prędkość, którą uzyskuje nieporuszająca się kula o masie m, po uderzeniu o nią kuli o masie w_a i prędkości u, jest równa 2m₂vl(tn_l +m₂)-

DO ROZDZIAŁU XI

11.28. -l^x< + \.

11.31. —12 < jc< 12. 1134 — 1 <x< 1.

11.37. R = 0.

11.29. -5^x<+5.

11.32. R= oo.

11.35.

11.38. ~^-<x<+^.

11.30.

11.33. R = 0.

11.36. -§<*<+§.

a„ ₊, (n + 1)"    / IV .    1

11.39. lim-= lim--—= lim I lH— J =e, więc R = — ■

n co &n n~* co H    n-*co\ W/    £

11.40. /? = + co.

11.41. R = 4.    11.42 /? = £.

11.44. J? = |.

11.43. R = £e.

Wskazówka (do zad. 11.44). Na podstawie twierdzenia, że jeżeli a_n>0 i a„-»a#0, to    znajdujemy

r— 2

^=_T„

^,l+~r 2

~?~*T

¹⁺F

11.45. R = 2.    11.46. R = 27.    11.47. /?=+oo.

11.48. -łj2<x<\_yf2. 11.49. -l^x<l.    11.50. -y/3*źx^j3.

1151. /?= 1, o-lscj^a+l.    11.52. R~2, -l«$x<3.

11.53. rt=l, -J^x<0.    11.54. /? = oo.

11.56. - ln (1 - x) przy -l^jrcl. ds(x)

11.55. 7?=1, 3<x<5.

as{X)

Wskazówka (do zad. 11.56). Znaleźć przedtem —— , gdzie j(x) oznacza sumę sze

regu.

11.57.

1

(l+x)

-₂ P^rzy \x\<i.

1 —2x    . ,

"•⁵⁸ o^ ^przyW<1'

Wskazówka, (do zad. 11.57). W celu znalezienia sumy S(x) znaleźć przedtem j s(x) dx

11.59. arctgx przy |x|<l.

11.60.

l-x²

(\+X²)²

przy U|<1.

ds(x)

Wskazówka (do zad. 11.59). Znaleźć przedtem —-—gdzie s(x) oznacza sumę sz<

dx

regu.

11.62.

1

₃- X -L,- f

(1-X)³ n=l 2

11.64. i(ln4+iitV3). 11.65. ( ^an^x"Y= Z c_nx", c„ = a₀a„ + a_ia_n.₁+...+a„a₀

(n +l)(n +2)

11.63. ln|.

(1-X)“    „=)

3

_

■

n = 0    n = 0

co

11.66. ( Z xⁿ)³= Z

„=.1    n = O

2

X