302 303

302 Programowanie wypukłe i kwadratowe

Sprowadzimy zadanie do ogólnej postaci programowania nieliniowego, opisanego wzorami (6.2). Przekształcimy w tym celu warunki ograniczające (6.7). Pierwszy z nich ma postać:

x, + 2x₂ < 10,

a po prostym przekształceniu otrzymujemy:

10 —jc, -2x₂ > 0.

Zgodnie ze sposobem przedstawienia warunków ograniczających zapisujemy: gi(*i, x₂)= 10-x,-2x₂>0.

Przekształcając w taki sam sposób kolejne warunki ograniczające, otrzymujemy:

g₂C*h *2> = 9-*|-.*2>0, g₃(*i. x₂) = x, >0, g*(x„x₂)=x₂^0.

Po dokonaniu tych przekształceń rozpatrywane zadanie ma postać:

/(x_t, x₂)~ 10x, + 25x₂-10x?-x₂-4X|X₂ —> max, g,(r,, x₂) = 10-x, -2x₂ >0, g-A*i. a:₂) = 9-jc,-jc₂>0,

#j(*i, x₂) = x, >0,

&t(*i, x₂)=x₂>0.

W rozpatrywanym zadaniu występują cztery warunki ograniczające, stąd wektor y ma cztery składowe. Zauważmy, że funkcje i g₄ to warunki nieujemno-ści dla zmiennych x, i x₂. Ze względu na to, że zmienne x, i x₂ będziemy rozpatrywali łącznie z odpowiadającymi trzecią i czwartą składową wektora y, dlatego wygodnie jest oznaczyć te składowe jako y“j i y₂. Kolejne składowe wektora y oznaczymy więc dalej następująco:

y = lyiy2>^,f>^-2]-

Funkcja Lagrange’a ma postać:

L(x,, x₂, y„ y₂, yf, y₂) = 10x, +25x₂- 10jr?-x|-4jc_lx₂+y,(10-jt_l-2jc₂) +

+ y₂(9-x_{-x₂) + yi X\ + yix₂.

Zapiszemy kolejno warunki Kuhna-Tuckera.

Warunek ł

Pochodne cząstkowe funkcji L ze względu na x, i x₂ wynoszą odpowiednio:

—- = 25 - 4x, - 2x₂- 2y, -y₂ + yi

dx₂

Przyrównując je do zera, otrzymujemy układ równań:

10-20ai -4j:₂-yi -y₂+y^ = 0,

25 -4jc, - 2x₂ - 2y,-y₂ + yi = 0.

Przenosimy wyrazy wolne na prawą stronę i mnożymy obie strony przez liczbę _1. W ten sposób otrzymujemy:

20x,+4 x₂+y,+y2~y1= 10,

Ąx_[+2x₂ + 2y_l + y₂-y₂ = 25.

Warunek 2

Warunek ten zapisujemy w postaci:

y,(10-^i -2j:₂)+y₂(9-x, -x₂)+yix, + y₂*₂ = 0.    (6.8)

Powrócimy na chwilę do pierwszego i drugiego warunku ograniczającego rozpatrywanego zadania, opisanych wzorem (6.7). Możemy je przekształcić do postaci równości. Wprowadzając zmienną bilansującą x‘l do warunku pierwszego, który ma postać:

jc, + 2x₂ ^ 10,

otrzymujemy:

.V, +2 x₂+xi= 10,

a stąd:

x“l= 10—x_t - 2x₇.

Wprowadzając zmienną bilansującą x₂ do warunku drugiego, który ma postać: x, +x₂    9,

otrzymujemy:

X\ +x₂+x'1 = 9, stąd:

x₂ = 9-x_{ -x₂.

Uwzględniając związki w warunku (6.8), stwierdzamy, że warunek ten możemy zapisać w postaci:

y< x‘l + y₂x₂ + yix| + y₂ x₂ = 0.