6 (35)

108 6. Całka Riemanna-Stieltjesa

6.9.    TWIERDZENIE. Jeżeli fjest moriotoniczna na (a, ft), a a jest ciągła, tofe dl(ot) (w dal- I szym ciągu oczywiście zakładamy, że a jest monofoniczna).

Dowód. Niech będzie dana liczba e > 0. Przy dowolnym n naturalnym wybierzmy taki I podział P, aby

ot(b)-ot(a) ] _v Acti = —-—— (i m 1,.... n). n

Można tak zrobić, ponieważ funkcja oc jest ciągła (twierdzenie 4.23). Załóżmy teraz, że/| jest rosnąca (w przeciwnym przypadku dowód jest analogiczny). Wtedy

M, - f(xi), > m,- - (fi. {) (i = 1,... ,n),

tak, że

i c/w-z^-o] - “^(ł>-^g<^a> [/((,)_/(„)] < _E,1

n i=t

jeżeli n jest dostatecznie duże. Na mocy twierdzenia 6.6 / e dl (a).

6.10.    TWIERDZENIE. Niech f będzie funkcją ograniczoną i mającą tylko skończoną ilość punktów nieciągłości na odcinku (a, by i niech ot będzie ciągła w każdym z punktów, w których nieciągła jest funkcja f Wtedy f e dl (a).

Dowód. Niech będzie dana liczba e > 0. Niech M = sup |/(x)| i niech £ oznacza zbiór punktów nieciągłości /. Ponieważ £ jest zbiorem skończonym i ot jest ciągła w każdym z punktów £, więc możemy pokryć £ skończoną liczbą rozłącznych przedziałów (uj, Vj) c I c (a, by tak, że suma różnic ot(vj)— a(u ) jest mniejsza niż e. Możemy poza tym tak umieścić te przedziały, aby każdy z punktów zbioru En(a,b) leżał we wnętrzu któregoś z przedziałów!

Usuńmy przedziały (uj, vj) z odcinka <a, by. Pozostały zbiór K jest zwarty. Wobec tegol funkcja/jest jednostajnie ciągła na K, a więc istnieje 6 > 0 taka, że |/(s)-/(t)i < e, jeżeli tylko I s,teK oraz [s^t| < S

Utwórzmy teraz podział P = {x₀,x₁,...,x_B} przedziału <a, b> tak;, aby każdy z punktów Ujl występował w P, każdy z punktów Vj występował w P oraz aby żaden z punktów przedziału 1 (uj, vj) nie należał do P. Dalej, jeżeli Xj.i nie jest żadnym z punktów uj ma być Ax_t < ó.

Zauważmy, że M(-m, < 2M dla dowolnego i oraz że M_t-mi ^ e o ile Xj._t nie jest ] żadnym z punktów uj. Wobec tego, podobnie jak w dowodzie twierdzenia 6.8, mamy

U(P,f,ot)-L{P,f,ot) [<x(b)-a(a)]£+2Me.

Ponieważ e jest dowolne, więc twierdzenie 6.6 pokazuje, że/€ dl (a).

Uwaga. Jeżeli fi a posiadają wspólny punkt nieciągłości, to może się zdarzyć, że/ nie należy do dł(ot). Sytuację taką pokazuje zadanie 3.

6.11.    TWIERDZENIE Niech /e dl (a) na <a, 6>, m </< Af i niech funkcja <p będzie ciągła na przedziale <m, M> oraz niech h (x) m. <p{f(x)) na <a, by. Wtedy he dl (ot) na (a, by.

Dowód. Wybieramy e > 0. Ponieważ <p jest ciągła jednostajnie na <m, M>, więc istnieje