6 (31)

104

6. Całka Riemanna-Stieltjesa

Riemanna na przedziale <a, b) i będziemy pisaćfeSt (tzn. 3t oznacza zbiór wszystkich funkcja całkowalnych"W sensie Riemanna), a wspólną wartość wielkości (1) i (2) będziemy oznaczam

(3)	fdx
lub
	p g
(4)	)f(x)dx.

Jest to całka Riemanna funkcji/ na przedziale <a, fe>. Ponieważ funkcja/jest ograniczona, więc istnieją dwie liczby m i M takie, że m < f(x) ^ M (a < x < b). Oznacza to, że przy do-J wolnym podziale P mamy

m(b-a) < L(P,/) < Ł/(P,/) < M0-a),

tak, że liczby L(P,-/>i t/(P,/) tworzą zbiory ograniczone. Wynika stąd, że całki górna i dolna J określone są dla dowolnej funkcji ograniczonej / Pytanie o ich równość, a zatem o całkowalni ność funkcji y, jest znacznie subtelniejsze. Nie zajmując się nim osobno w przypadku całkil Riemanna rozpatrzymy teraz ogólniejszą sytuację.

6.2. Definicja. Niech a będzie monotonicznie rosnącą funkcją określoną na przedziale <«, £.). (Ponieważ a(a) i oc(b)są skończone, więc funkcja a jest ograniczona na <a, ó>.) Jeżeli P jest jakimś podziałem przedziału <a, ó>, tó określimy da, = a(x,)—a(x,_ j). Łatwo zauważyć, j że A«i > 0. Dla dowolnej funkcji rzeczywistej ograniczonej na (a, b) napiszmy

U(PJ,«) = Z Wok, UPJ,«) = t mMn

mi    i*i

gdzie Mi oraz wij mają ten sam sens, co i w definicji 6.1.

Zdefiniujmy

(5)

(6)

]fdu - inf U(P,f,«), 6

J/da = sup L(P,/, a), gdzie kresy górny i dolny wzięte są znowu ze względu na wszystkie możliwe podziały i przedziału (a, b).

Jeśli lewe części równości (5) i (6) są sobie równe, to ich wspólną wartość oznaczamy przez

(7)

)fd«

lub czasami przez

J/(x)da(x).

WL