6 (45)

118

6. Całka Riemanna-Stieltjesa

Zatem

Xl

| \y\t)\dt < |y'(Xi)\Axi+eAxi -

= I / lv'(t)+y'(xj)-y'(t)']dt\+eAx_i <

*t-l

<    I ? v'(t)dt\+ 11 [y'(x_i)-yWdt\+eAx_i <

<    |y(x_i)-y(x_i_i)|+2fiJx_i.

Sumując powyższe nierówności, otrzymujemy

*    b

J1/(01* < /1(P, y)+2e(fe—u) < /l(y)+2e(ó—a).

a

Z uwagi na dowolność s wynika stąd, że

J1/(01* < A(y).

To kończy dowód.

Zadania

1.    Niech a będzie funkcją rosnącą na <a,6>, ciągłą w punkcie x₀, a x₀ < b,f(x₀) = 1 i/(x) = 0, jeśli x * x_a. Wykazać, że / e &(a) i [/<ła = 0.

b

2.    Niech/> Obędzie funkcją ciągłąna <a,ł>> i jf(x)dx = 0. Wykazać, żef(x) = 0 dla xe(.a, b) (por. zadanie 1).

3. Określmy trzy funkcje P_t,P₂,P₃, przy czym 0/x)= 0, jeżeli x <0,ft(x)= 1,jeżeli* > 0 przyj = l,2,3;/?j(0)=s = 0, P₂(0) = ł, PM = j. Niech/ będzie funkcją ograniczoną na przedziale <— 1,1).

a; Wykazać, że/e wtedy i tylko wtedy, gdy/(0+) = /(0), i w tym przypadku $fdfl_L = /(0).

b)    Sformułować i udowodnić analogiczny wynik dla /i₂.

c)    Wykazać, że/ 6 &(/?₃) wtedy i tylko wtedy, gdy/jest ciągła w 0.

d)    Niech / będzie ciągła w punkcie 0. Wykazać, że

lfdP_t = J'/d/i₂ = J/d/?₃ =/(0).

4.    Niech/(x) = Odiaxniewymiernychi/(x) = 1 dlaxwymiernych.Wykazać,że/£^?na(u,b>przydowolnych a, b takich, że a < b.

5.    Niech/ będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą na <a, b) i niech f² e 91 na <a b). Czy wynika stąd, że/ e .#? Czy odpowiedź pozostaje ta sama, jeżeli założymy, że też /* e 3??

6.    Niech P oznacza zbiór Cantora skonstruowany w paragrafie 2.44. Niech / będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na <0,1> i ciągłą w każdym punkcie nie należącym do P. Wykazać, że/ e 5* na <0,1>.

Wskazówka. P można pokryć skończoną ilością odcinków o dowolnie małej sumie długości. Postępować jak w twierdzeniu 6.10.

7.    Niech/będzie funkcją rzeczywistą na (0,1> i niech/e 3t na <c, 1> dla dowolnego c > 0. Niech

1 1 if(x)dx- lim $f(x)dx,

O I ■ | Q T-0 o •