6 (30)

. . H Rozdział 6

siki (k+ l)-wymiarowg ■ rem (c_t,Wykorzy- I

^Ktać    Całka Riemanna- Stieltjesa ne o jednoznaczności

V Głównym pojęciem tego rozdziału jest całka Riemanna, której definicja w sposób istotny Lyiorzystuje uporządkowanie prostej rzeczywistej. W związku z tym zaczniemy od całko-■■■■a funkcji rzeczywistych określonych na przedziałach domkniętych. W dalszych rozdzia-prikbędą wyłożone uogólnienia na przypadek funkcji o wartościach zespolonych i wektoro-WUs, określonych na przedziałach domkniętych. Całkowanie na zbiorach różnych od ■DBdziałów domkniętych będzie rozpatrzone w rozdziałach 10 i f l.

Definicja i istnienie całki

I 41. Definicja. Niech <a, &> będzie danym przedziałem. Przez podział P przedziału rozumieć będziemy skończony zbiór punktów x₀, Jtj,... pc„, gdzie

< Xj.    x„ s* b.

I Będziemy pisać

Ax, =    b = 1,..., n).

Bpcfc teraz/będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na <«,&>. Każdemu podzia-łr*>". P przedziału <a, b) odpowiadają liczby

Mi = sup/(x),' m, i inff(x)    (x,-_ _Ł < x sf x₍),

i MjA^n UPJb* t'M*l

Itacszcie

b

J/dx = inf U (P,f\

]fdx = supL(P,/),

gpcaic kresy górny i dolny brane są ze względu na wszystkie możliwe podziały przedziału (ja, by. ■Me strony równości (1) i (2) nazywają się odpowiednio górną i dolną całką Riemanna funkcji mm przedziale (a, by.

I Jeżeli całka górna równa jest całce dolnej, to powiemy, żefunkcja/jest całkowalna w sensie