CCF20090514036

176

II. Struktura nauki

mapa terenu. Reprezentacja może być mniej lub bardziej dosłowna, co ilustruje różnica między mapą przestrzenną a mapą płaską z zaznaczonymi poziomicami. Ten sam oryginał może mieć r óżne podobizny, w zależności od doboru cech będących przedmiotem zainteresowania. Są na przykład mapy fizyczne, drogowe, bogactw mineralnych i tak dalej. Granica między modelami symulacyjnymi i ikonicz-nymi jest nieostra”. Na przykład programy komputerowe mogą służyć do symulacji bardzo skomplikowanych procesów, między innymi zjawisk atmosferycznych, ewolucji gatunków biologicznych czy ewolucji społeczeństw ludzkich i zwierzęcych. Trudno rozstrzygnąć, do którego z tych dwóch typów modeli należy je zaliczyć: z jednej strony podlegają manipulacji w formie wprowadzania danych, jak modele symulacyjne, z drugiej zaś - mają charakter symboliczny, jak modele ikoniczne.

Model

•mantyczny

Model metamatematyczny albo semantyczny. To pojęcie, najbardziej uteoretyzowane, wymaga definicji krok po kroku. Weźmy pod uwagę pewien język L, na przykład monadyczny język rachunku predykatów pierwszego rzędu, którego alfabet został zdefiniowany w rozdziale I, p. 2.2. Interpretacją / języka L nazywa się takie odwzorowanie (funkcję), które (1) każdej stałej indywiduowej języka L przyporządkowuje jakiś element pewnego ustalonego zbioru U, zwanego uniwersum języka L, (2) każdemu predykatowi języka L przyporządkowuje pewien podzbiór zbioru U. Punkt (1) polega na nadaniu nazw przynajmniej niektórym elementom uniwersum. Punkt (2) polega na wyróżnieniu w uniwersum podzbiorów tych elementów,

0    których będziemy mówić, że mają własność nazwaną za pomocą danego predykatu. Na przykład interpretacją języka, w którym jako stałe indywiduowe występują liczebniki i w którym występują predykaty P = „parzysty", Q = „nieparzysty”, R = „... jest liczbą pierwszą"

1    tym podobne, może być takie odwzorowanie, które liczebnikom przyporządkowuje odpowiednie liczby, a predykatom P, Q, R odpowiednio zbiory liczb parzystych, nieparzystych, pierwszych^{1 2}. Para <U, />, gdzie U jest uniwersum języka L, a / jego interpretacją, nazywa się modelem języka L. Model języka L można uważać za jeden z możliwych światów dających się opisać za pomocą języka L.

8. Teorie a modele

17/

Pojęcie modelu z łatwością można uogólnić na bogatsze języki, \ w których występują predykaty wieloargumentowe i symbole funkcyjne. Interpretacją predykatu //-argumentowego może być relacja (/-argumentowa, czyli zbiór //-elementowych ciągów uniwersum. Na przykład interpretacją predykatu „większa od" może być zbiór par liczb, z klótych pierwsza jest większa od drugiej, a interpretacją

predykatu.....ma się do ... tak jak ... do ...” jest zbiór czwórek liczb

takich, że pierwsza ma się do drugiej tak jak trzecia do czwartej. Interpretacją symbolu funkcyjnego zaś jest pewna funkcja określona na uniwersum języka.

Taisklfuo ilcflnhla /i

Alfred Tarski (1902-1983), logik, wiatach 1923-1939 związany z Uniwersytetem Warszawskim. w 1939 roku wyjechat do Stanów zjednoczonych, od 1942 do 1983 wykładał na Uniwersytecie w Berkeley. Autor semantyczno teorii prawdy oraz ważnych odkryć w teoriach modeli i relacji.

Teraz naszkicuję pochodzącą od Tarskiego³ definicję prawdy. Wartościowaniem v nazywamy odwzorowanie, które każdej zmiennej indywiduowej a: języka L przyporządkowuje jakiś element \>(a) uniwersum U, a każdej stałej indywiduowej a jej interpretację /(«). O wyrażeniu atomowym (formule atomowej) P(/,, .... t_n), gdzie ..., t są zmiennymi lub stałymi⁴, mówimy, że jest spełnione w interpretacji / przy wartościowaniu v, gdy między elementami v(/,), .... v(/_fi) zbioru U, wziętymi w tym porządku, zachodzi relacja będąca interpretacją predykatu p. Dalej: wyrażenie -A jest spełnione, gdy A nie jest spełnione; A v B jest spełnione, gdy przynajmniej jedno z nich jest spełnione; wyrażenie (Hx)A jest spełnione w interpretacji/przy wartościowaniu v, gdy A jest spełnione w interpretacji / przy jakimś wartościowaniu w, które różni się od v najwyżej dla a.

Uzupełniając te warunki o definicje: Aa B = —»(—«A v ->B)\ A -» B =

->A v B: A *-* B = (A -► B) a {B -> A); (Va)A = —>(3a)[—>/l], otrzymamy rckurencyjną (por. rozdz. II, p. 2) definicję spełniania dla dowolnego wyrażenia języka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dla ilustracji: gdy interpretacją „<” jest relacja „mniejsze od", a interpretacją nazw 1, 2, 3... są odpowiednie liczby, wyrażenie a < 4 nie jest spełnione dla wartościowania v, gdy v(a) = 5. Jest natomiast spełnione dla wartościowania w, dla którego w(a) = 3. Dlatego też wyrażenie

1

   Czyli przedstawiony podział modeli jest typologią, a nie klasyfikacją.

2

   Możliwe są inne interpretacje, tak zwane niestandardowe, na przykład taka, jaka predykatowi „parzysty” przyporządkowuje zbiór liczb nieparzystych, i tak dalej.

3

   Zob. A. Turski, Pisma logiczno-filozoficzne, t. I, Warszawa 1995. Definicja ta pochodzi z 1933 roku.

4

   Lub funkcjami od nich, gdy w alfabecie języka L występują również symbole funkcyjne.