Cialkoskrypt6

170 3. Kinematyka płynu

rot,

rot_z v =

Zatem

rot v = i rot_x v + j rot_y v + k rot₂ v = 2 ( ico_x'+ jco_y + kco_z j = 2Ó1

Rotacja wektora prędkości v równa się podwojonej prędkości kątowej chwilowego obrotu cząstki cieczy.

3.5. Ruch potencjalny i ruch wirowy

Jeżeli w pewnym obszarze wektorowego pola prędkości v prędkość kątowa chwilowego obrotu co = Ó, co zachodzi w przypadku ruchu zwanego potencjalnym, to ruch wirowy zamiera, rot v = 0, a zatem ruch wirowy i potencjał prędkości w obrębie jednego i tego samego obszaru wykluczają się wzajemnie. Jeżeli bowiem w rozpatrywanym obszarze cieczy pole wektorów prędkości v ma potencjał, to v = grad O lub

do	_ dO	dO
dx ’	V v —■—, ^y dy	^Vz_ dz

_ _TdO -dO _rdO v = i — + J — + k—, więc dx dy dz

Rotacja v jest równa zeru, gdy wektor v można wyrazić jako grad O, gdyż rot(grad O) = 0. Składowe rotacji prędkości w kierunkach x, y, z są następujące:

_rot

dy dz dzdy dydz

d v_x

^rot,v=17

rot, v =

dx

d y_{z =} d²$ dx dzdx

dv_x ^ d²^__

dy dydx dxdy

dxdz

d²$

= 0,

= 0

lub w postaci wektorowej rot (grad O) = 0. Z tego jednakże nie wynika, aby w cieczy, poruszającej się pod wpływem sił zachowawczych, nie mogły istnieć wyodrębnione obszary ożywiane ruchem wirowym.

Jeżeli teraz założymy na odwrót, że w żadnym punkcie wyodrębnionego w myśli obszaru pola prędkości v nie ma wirów: rot v = 0, to składowe wektora prędkości v muszą spełniać zależności:

d Vz ^ Vy _ q <9y_x ^Vz_q ^Vy dy_x__Q

dy dz dz dx dx dy

Otóż z rozważań o ruchu potencjalnym wiemy, że powyższe zależności są koniecznym, a zarazem wystarczającym warunkiem, aby wyrażenie:

v_xdx + v_ydy + v₂dz = d®

było różniczką zupełną potencjału prędkości ®, której pochodne cząstkowe w rozpatrywanym obszarze równe są składowym prędkości:

a®

dx

V_x,

czyli v = grad ®, a stąd

rot v = rot (grad ®) = 0,

gdyż z różniczkowalności potencjału ® (pochodne mieszane są równe)

rot (grad®) =

i J d_ d_

dx. dy

k

d_

dz

-a²® a²®, - a²® a²®,

= 1    ~    ) - J (t-t “ -^r) +

dydz dzdy dxdz dzdx'

a® a® a®

dx dy dz

) = i.0+j-0 + k- 0 = 0.

+k(-

_r,a²® a²®

dxdy dydx

Warunek ciągłości ruchu wirowego

Znamy już zależności:

co_x=-

Oj < N	dvy)	1	^rdvK	1	' dyy
, dy	dz j	s *< u to 1	^ az dx )	I    Oł II X 3	v d*-	dy j

Po zróżniczkowaniu cząstkowym powyższych równań względem x, y, z i po dodaniu ich do siebie otrzymujemy równanie ciągłości ruchu wirowego:

'co,

dx dy

+    = 0 =>—-(rot*v) + — (rotyv)+ — (rot_zv) = 0

3z

dx

dy

dz

lub div(rotv) = 0. Przy ustalonym ruchu wirowym rozbieżność linii wirowych w całym obszarze cieczy równa się zeru.