Cialkoskrypt 6

190 3. Kinematyka płynu

(ax + bt)² + (ay + bt)² =C(t), stąd (a-l + b-0)² + (a-0 + b-0)² = C(0), więc C = a . Zatem równanie linii prądu ma postać:

x² + y² =1.

Ad 4. Tor elementu płynu przechodzący w chwili t = 0 przez punkt (x, y) = (1, 0) określamy z dodatkowych warunków. Mianowicie z danych zadania wynika, że v_x = ay + bt, v = -ax - bt, stąd gdy x = 1, y — 0 i t = 0, wtedy v_x = 0; v_y = -a w

chwili t. Ponadto wzory na prędkość v_x i v_y uzyskaliśmy wyżej z różniczkowania toru:

”L

dla x = 1, t = 0 1- —+ AsinB,

b b

dla y=0, t=0 0 = —~ + aAcosB, stąd AcosB = —,

a a

dla x = l, y = 0,t = 0 v_x=0 =— + aAcosBv_y, v_y = -a ----aAsinB, stąd

AsinB =1—-a

albo

.2 X

^A = , T + O"7 - t&B ⁼ — 1, B — arctg - 1

W szczególnym przypadku, gdy a = b, otrzymujemy B = 0, A - 1:

1 - at . 1 + at

x=-+ sinat, y =--+ cosat,

a a

2co = rot v =

i j k		i J k
d_ d_ a		_9_ d_ d
9x 9y 9z		9x 3y 9z
< < o		ay + bt -ax - bt 0

= k -a-a --2ak.

Wektor rotacji jest prostopadły do płaszczyzny (x, y), a chwilowa prędkość kątowa (0 = - a.

ZADANIE 3.10.3

Pole prędkości jest określone w układzie współrzędnych prostokątnych składowymi:

v_x=ax + bt, v_y=~ay + bt, v₂=0.

Wyznaczyć:

1. rodzinę linii prądu,

2. rodzinę torów i pole prędkości,

3. linię prądu przechodzącą przez punkt (-1, -1) w chwili t = 0,

4. tor elementu przechodzący w chwili t = 0 przez punkt (-1, -1),

Rozwiązanie

Ad 1.

dx dy

ax + bt -ay + bt ay - bt

a po scałkowaniu 1

ln(ax + bt) = -—ln(ay - bt) + ln C, stąd (ax + bt) = C(ay - bt) ¹. a a

Ad 2.

dx dy , dx , dy , .

—- = —= dt, —= ax + bt oraz — = -ay + bt.

v „ v „ dt dt

Powyższe równania niejednorodne rozwiążemy, stosując metodę Lagrange’a uz-miennienia stałej. Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne:

dx _ . . dx

— = ax lub — = a ■ dt,

dt x

stąd

lnx = a-t + C lub x=C(t)e^al.

Po uzmiennieniu (uzależnieniu od t) stałej rozwiązanie ma postać:

x(0 = C(t)e^al.

Wyznaczenie stałej C(t) następuje przez wstawienie rozwiązania x(t) do wyjściowego równania. Uzyskujemy równanie określające stałą C:

C'(t) = bte”^at, stąd C(t)^~-| t + -V^at+D, D = const,