Cialkoskrypt7

172 3. Kinematyka płynu

Cyrkulacja. Twierdzenie Stokesa

Cyrkulacją nazywamy całkę wzdłuż tuku z v - ds. Na rysunku 3.5 pokazano interpretację graficzną cyrkulacji z wektora v po łuku AB. Cyrkulację, zwaną również krążeniem, wyraża całka w postaci:

r_AB=Jv-d*s,    (3.4)

AB

-^ ^

gdzie ds jest elementem łuku AB linii L. Ponieważ iloczyn v • ds jest iloczynem skalarnym, przeto całkę (3.4) można zapisać jako

^rAB= fv - ds = fv_xdx +v_ydy + v_zdz = Jv_s-ds,

AB    AB    AB

gdzie

v_s = v'ds|vjjds|cos|v,dsj.

Rys. 3.5. Cyrkulacja wektora prędkości wzdłuż łuku AB linii L

Przepływ nazywamy wirowym, jeśli jego pole prędkości spełnia warunek rotv?tO (z wyjątkiem skończonego zbioru linii lub powierzchni, na których rotv^0). Z przepływami wirowymi bardzo często spotykamy się w przyrodzie. Na przykład, przy opływie filarów mostów można zauważyć wiry; występują one również przy uderzeniach wiosłem o wodę, za obiektami pływającymi. Dobrymi przykładami są również trąby powietrzne, cyklony. Niewielkie wiry powietrzne lub wodne powodują tak zwaną turbulencję przepływu. Powstanie wiru wiąże się z powstaniem dodatkowego oporu zwanego oporem wirowym. Brak obserwowalne-go wiru w przyrodzie nie dowodzi, że przepływ jest bezwirowy.

Dla zaobserwowania przepływu wirowego rozważmy ruch cieczy lepkiej płynącej pomiędzy dwoma płaszczyznami równoległymi poruszającymi się z prędkością V| i v₂ i niech V| > v₂ (płyta górna porusza się szybciej niż płyta dolna), rozkład prędkości wyraża zależność:

/ \ v, - v₂ ^vx ~ v(y) = —--y + v₂

Rys. 3.6. Przepływ cieczy lepkiej wywołany dwoma poruszającymi się ściankami

Wyznaczmy wektor rotacji rozkładu prędkości w szczelinie najpierw dla przypadku z rys. 3.6a:

V ~ i • v_x + j • 0 + k >0,

rotV =

i	j	k
d	a	a
dx	dy	ay
^Vx	0	0

= i - 0- j •0 + k--~- = k-^^]—— = dy    h

= i • rot_xV + j • rot_y V + k • rot_zV.

Stąd z porównania mamy:

rot_xy=0, rot V = 0, rot_zV = ———.

^y    h

Na ruch płynu lepkiego pomiędzy dwoma nieskończenie długimi płytami można odziaływać gradientem ciśnienia (różnicę ciśnień pomiędzy dwoma przekrojami odniesiemy do odległości pomiędzy tymi przekrojami). Gdy składowa gradientu ciśnienia jest ujemna (występuje spadek ciśnienia w kierunku przepływu), profil prędkości opisuje funkcja:

Vp = i®E₊j®P ₊ k|P = i5p₊].o₊k.o = I^,

3x 3y 5y dx    Ax

=v(y) = ^--|2-(y² -hy)+ —y + v₂ .

2p Ax    h