Cialkoskrypt3

I

I

204

3. Kinematyka płynu

lub we współrzędnych biegunowych (x = r cos0, y = r sin©)

M⁷ = © oraz O = ln r.

Zbadajmy dalej charakter przepływu. Po przyrównaniu funkcji prądu do stałej:

= 0 = const

mamy równanie linii prądu, który tworzy rodzinę prostych. W celu znalezienia kierunku przepływu znajdziemy v_r, mianowicie:

50    1

^Vr =^- = -^>0’

dr r

to znaczy kierunek prędkości v_r jest zgodny z kierunkiem promienia wodzącego. Przepływ taki nazywamy źródłem.

W celu otrzymania rodziny linii ekwi-potencjalnych potencjał prędkości należy przyrównać do stałej

O = Inr = const ==> r = const.

Linie stałych wartości funkcji O sąwspół-środkowymi okręgami (rys. 3.16).

Załóżmy, że strumień objętości płynu wypływającego ze źródła równa się Q. Wielkość Q nazywa się też natężeniem źródła. Ustalmy związek między natężeniem źródła a funkcjami O i 4L Zgodnie z warunkiem ciągłości przepływu, strumień objętości Q płynu przepływający przez okrąg (pobocznicę walca o jednostkowej wysokości) o promieniu r jest opisany wzorem:

	Q = A*	v r =27irvr,
ale	_ 50 dO 5r dr	(O = O(r)),
więc	Q = 2?irvr	dO. = — 27tr, dr
skąd mamy
	dO = Ad£ lub 2tc r 2n

oraz z dokładnością do stałej

3. Kinematyka płynu

	In r Q = 2n— = 2tc-—— — 2tc. In r In r
Z drugiej strony	_ ao> _ i ay __ i ao __ ^Vr" ar "r a©’ ^v® ■ r a© "	a^ ar
więc ze związku	• dd> Q — _— 2ttt dr
mamy:	r a© a©
a po scałkowaniu	¥=—Ó0 + C. 2n

205

Równania te przedstawiają potencjał prędkości oraz funkcję prądu źródła, którego strumień objętości (natężenie przepływu) Q = 2n.

W różnicy

%-'i^,2 = 'ł',-2=£(©₁-02).    e₂=0

znika stała addytywna i stąd strumień objętości

Q = *,-2-

Zatem funkcja prądu pozwala na określenie strumienia objętości (objętościowego natężenia przepływu) płynu pomiędzy dwoma wybranymi liniami prądu.

ZADANIE 3.10.10

Związek pomiędzy potencjałem zespolonym w(z) a potencjałem prędkości d>(x,y) i prądu ^ył^/(x,y) jest następujący:

w(z) = 0(x,y) + iH^J(x,y), z = x + iy.

Zbadać przepływ określony potencjałem zespolonym:

w(z) = Clnz,    CsR¹.

Rozwiązanie

Pochodną zespoloną prędkości wyraża się wzorem: , dw dO . 5^    . S0>