DSC07331

80 Macierze i wyznaczniki

• Zadanie 3.3

Rozwiązać podane równania macierzowe i układy równań macierzowych:

a)X +

b) 2 Y

[1	0	0	_	(\		0	0 2	1
i	2	0	~ 2	V		0	4 0
' 3	0	11		■ 1	o	1:		' 2	0	2 '
0	4	0	=	0	1	0	+ Y-	0	4	0
1	0	2		i	0	1		2	0	0

1. -1 -1 3

	2	0	0‘
X + Y =	0	2	0
	0	0	2
	0	0	2'
x i	0	2	0
	2	0	0

d)

X +

3 1

1 1

Y = X + Y I

1 0 0 1 2 1 1 1

• Zadanie 3.4

Obliczyć kilka początkowych po “ęg macierzy A, następnie wysunąć hipotezę o postaci macierzy .4”, gdzie n S N • (zasadnie ją za pomocą indukcji matematycznej, jeżeli:

a M = c)A =

b) A =

, gdzie a e R; d) A =

²    W¹

3    -2

1 1 0 1

cos q sina —sina cos a

chi sili shx chi

	0 0 1'		o
e)A =	0    i o 1    0 0	(*) A =	0 a i 0 0 a

, gdzie i e R; gdzie a € R;

g*) A = [oyl. gdzie «y = 0 dla i > j, i,j = 1,2,.... fe.

• Zadanie 3i5

Układając odpowiednie układy równań znaleźć wszystkie macierze zespolone X spełniające podane równania macierzowe:

2 21

. fl 1 0] [02 1

^a' [o 1 oj [l 1 0

BE9E1

X =

1 2

b)X = X^T

d)

I 21.

-2 —3 J'

i r	■IT
2 1	X =
3 1

3 1 0 1

X = X

,[112 ^e) [o 1 1

g)^² =

X =

1 1 0 -1

73 4 1

f)

h) X⁷ =

-1 0 1

4 -1 3 0

0 0 00

1) X ■ X^T =■    2]' jest t_u macierzą stopnia 2; j) X ■ X^T = X² +

1 1 -3 0

Zadania

81

• Zadanie 3.6

Korzystając z własności działań z macierzami oraz własności operacji transpono-wania macierzy uzasadnić podane tożsamości:

a)    (ABC)¹ = C'B‘ A^T, gdzie A, B, C są macierzami o wymiarach odpowiednio n X m, m x k, k x /;

b)    (A ± J3)² = A² ±2AB + B"¹, gdzie A i B są przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samych stopni.

Uwaga. Mówimy, że macierze A i B są przemienne, gdy spełniają warunek AB = BA.

*HA₊ir =    +    +

gdzie A i / są macierzami kwadratowymi tych samych stopni, przy czym I jest macierzą jednostkową.

• Zadanie 3.7

Obliczyć podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia:

a)

-3

8

b)

sin a cos a | _# sin p cos p I*

C)

1 1 1 12 3; 1 3 6

d)

1 i 1 + i -i 1    0

11 i 0    1

• Zadanie 3.8

Napisać rozwinięcia Laplace'a podanych wyznaczników względem wskazanego wiersza lub kolumny:

-1	2	-3	4
0	5	3	-7
i	3	-5	9
2	-2	4	6

a)

t 1 + i !■■■■■■■■■

1 — 2i 3    — i , trzecia kolumna; b) V q e ń • drugi wiersz.

-4    1-t 3 + i

Zadanie 3.9

Stosując rozwinięcie Laplace’a obliczyć podane wyznaczniki. Wyznaczniki rozwinąć względem wiersza lub kolumny z największą liczbą zer.

	1 . O	-~Ao	0 _O	e		3	2	0	0	0		2	7	-1	3	2
	•> O	i -2		o n		0	3	2	0	0		0	0	1	0	1
a)	—Z ;i o		— £ 5	Z 0	; b)	0	0	3	2	0	; c)	-2	0	7	0	2
	w					0	0	0	3	2		-3	-2	4	5	3
	5	0	3	4		2	0	0	0	3		1.	0	0	0	1
• Zadanie*		3.10

Korzystając z zasady indukcji matematycznej uzasadnić podane tożsamości (n oznacza stopień wyznacznika):

5	1	0 .	. 0	0
4	5	1 .	. 0	0
0	4	5 .	. 0	0
0	0	Ó .	. 5	1
0	0	0 .	. 4	5

4ⁿ⁺¹-l

; b) w_3n =

a ...	0 0	... b
0 ...	a 6	... 0
0 ...	6 a	... 0
b ...	0 0	... a