Dziawgo; Pochodna funkcji jednej zmiennej 6

138 Pochodna funkcji jednej zmiennej

16.11    Sprawdzić, że funkcja y = V2x - x² spełnia równanie y³ • y" + 1 = O

16.12    Sprawdzić, czy funkcja y = cosx • e^x + sinx • e^x spełnia równanie

—y" + 2y'-2y = 0.

16.13    Oblicz granice funkcji przy użyciu reguły de 1’Hospitala.

a) lim

x — 1

-» ln(2x-l) ’

b) lim x^x,

x—>0⁺

c) lim

ln(e^x +1)

X->+oo    X

d) lim x²e ^x ,

X—>-ł-cc

.    1 - cos(3x)

e) lim-7—f,

x->o i _ cos(4xj

f) lim (sin x)* ^x,

5^X -3^X

g) lim—-

x->0 tgx

h) lim(tgx)

x—>0^+v    ’

tgx

rcx

i) lim(l-x)^cosT,

x—>1 ^v    '

e^x -1

j) lim(l - cosx) • ctgx, k) lim-,

x->o^v    x->o sinx

. ln(cosx) 1) lim ^v

x-»0 _X

o) lim x^{x +2},

X—>+00

m) lim x^x,

n) lim x^10+lnx

i

p) lim(lnx)x.

16.14 Oblicz granice funkcji przy użyciu reguły de 1’Hospitala.

a)!;*/'¹-*³

b) lim ctgx--

x-^0V    X

^x-^° sin⁶(2x)

16.15 Oblicz granicę. Czy można to zrobić stosując regułę de lTIospitala?

x + sin x

lim

_x->c° x - sin x

16.16 Oblicz granice funkcji przy użyciu reguły de 1’Hospitala.

a) lim

sinx

x->0 _X

x -sinx

3^X -1

b) lim-

x->0 _X

c) lim^lnX

d) lim

^x^° 2x

5

e) lim xe

x—>0⁺

x-»oo ^

f) lim x ln x ,

x->0

g) lim—

X—>00 Q

h) lim

X~>1

x — 1 lnxj

) lirnW* >

x >0

j) lim(cos x)y

Ćwiczenia 17

Badanie przebiegu zmienności funkcji

Zadanie 1.

U . niiczyć przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

f(x) = x-e-⁰'^5x\

Rozwiązanie:

AI'Y znaleźć przedziały monotoniczności, korzystamy z wniosków z tw. La-. Miij.j.ifa.

i R		Obliczamy pochodną funkcji.
I x) = e^-05’^1’ + x • e^-0'^5*^1 (- x) = e^-05*’ (	W)	Badamy znaki pierwszej po
~ _ -) / - \		chodnej.
(\) > 0 <=> e (1 - x ) > 0 ......... e^-0'^5x > 0 dla x e R, to (l — x^2) > 0.		Funkcja wykładnicza przyjmu
1 xj>0ox€(-];l) H|<0«(l-x^!)<0ox e(-co;-l'	)u(l;+oo)	je tylko wartości dodatnie.

i ul więc funkcja jest rosnąca w przedziale (- l;l), a malejąca w przedziale (    "o; l) oraz w przedziale (l;+oo).

Zadanie 2.

i wleźć ekstremum lokalne funkcji:

c) f(x) = 5 + 31nx.

/najdziemy pierwszą pochodną i wyznaczymy jej miejsca zerowe.

ii) f(x)= 5x e^{5x -l}, b) f(x) =    ^    ,

3x

Kozwiązanie: ul l )/iedzina funkcji I > U l '(x)    5e'^{,x 1} (I i V\),

r(x) o<>V" '(i i V) o