035

35

Momenty zmiennych losowych

2.1.10.    Sprawdzić, że F(x) = e~^e jest dystrybuantą zmiennej X. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y —X².

2.1.11.    Niech zmienna losowa X ma dystrybuantę F. Znaleźć dystrybuanty zmiennych losowych Y — -X, Z — |X|, U = X².

2.1.12.    Pokazać, że jeśli Pr(X = c) = 1, gdzie c jest pewną stałą, to zmienna losowa X i dowolna zmienna losowa Y są niezależne.

2.2. Momenty zmiennych losowych

2.2.1. Całka Stieltjesa

Podana w tym punkcie definicja całki Stieltjesa⁵ jest uogólnieniem definicji całki Riemanna⁶. Jej użycie umożliwia podanie jednolitej definicji momentów

zmiennych losowych, zarówno dla typu ciągłego, jak i skokowego.

Definicja.

Załóżmy, że dystrybuanta F(x) jest przedziałami ciągła i różniczkowalna wewnątrz przedziałów ciągłości. Całką Stieltjesa z funkcji g(a) względem dys-trybuanty F(x) nazywamy liczbę określoną wzorem Meltjesa    _h    b

I g{x)dF(x)= I g{x)^C^^dx + y2g(x_i){F'(4)-F{xj)) ,    (2.2.1)

a    a    ¹

gdzie x_i są punktami skoków dystrybuanty F(a), pomiędzy którymi jest ona ciągła i różniczkowalna.

Przypadki szczególne odki Stieltjesa

Jeżeli dystrybuanta F(x) ma gęstość, to we wzorze (2.2.1) znika suma, (bo dystrybuanta jest ciągła, więc skoki są równe zeru), a całka Stieltjesa sprowadza się do zwykłej całki Riemanna. Jeśli natomiast zmienna losowa jest typu skokowego, to pochodna pomiędzy skokami jest równa zeru, (bo dystrybuanta jest tam stała), a całka Stieltjesa redukuje się we wzorze (2.2.1) do sumy £g(x,)Pr(X = .*■.).

P

l

Przykład. Określmy dystrybuantę F(x) wzorem

dla a ^ 0, dla a > 0.

Policzmy całkę

(x^Jr \)dF(x).

— oo

⁵Thomas Stieltjes (1856 - 1895), matematyk holenderski.

⁶Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866), niemiecki matematyk i fizyk.