Matematyka 2 7

36 1 Geometrio unałinczna \* przestrzeni

36 1 Geometrio unałinczna \* przestrzeni

(2)    sin4(/,.M

[a,,h,,c,lx[a_:,b₂,c_:l|

yjaj - bf +cf ^/a₂ •t b > +c₂ (3)    /, _L/₂ -o a,a_:+ b,b_: * c,c_: =0,

,4)

PRZYKŁAD 3.3. Napiszemy równania parametryczne prostej / przechodzącej przez punkt (2.0,1) i równoległej do prostej

, x — 1 -    . z

/,: —-2y-4 = -

x = 2-t-at, y=bt. leR. z = l + ct.

Ponieważ (2,0.1 je/, więc /:

Z warunku równoległości prostych / i /, wynika, że jako wektor fa.b.c] równoległy do prostej / możemy przyjąć wektor równoległy do prostej /, Ponieważ

2Lz_[ _{= 2}y-4 = — o =

3 ^y 6    3    1/2    6’

więc a zatem

/:

la,b,cl = [3,1/2.6],

teR.

x = 2 + 3t, y=t/2.

z = l + 6i.

PRZYKŁAD 3.4. Napiszemy równania parametryczne prostej / przechodzącej przez punkt (3,2,-1) i prostopadłej do prostych

/,: y = 4, teR,    l₂:2x = y=-^^.

z= l + 2t.    ³

Ponieważ (3,2,-l)e/, więc x = 3 + at,

I: y=2+bt, teR.

Z = — I -hCt,

Wektor [a.b,c] równoległy do prostej / jest prostopadły do prostych /, j /,. a zatem

[a,b,c]_L[l,0,2],    [a,b,cJ-L[l/2.1,3]

Możemy w ięc przyjąć

[a,b.c| = [1,0.2] x [1/2.1.31 = [-2.-2.1].

Zatem prosta / mu równania parametryczne [x = 3-2t,

/: y = 2-2t.    teR.    ■

[z = -Ut.

W następnych przykładach będziemy badać wzajemne położenie dwu prostych. Przypomrnjmy.ze dwie proste w przestrzeni mogi* przecinać się. być równolegle (w szczególności pokrywać się) lub być skośne.

PRZYKŁAD 3.5. Zbadamy wzajemne położenie prostych

x = 2 -f 3t,

/,:y = 4. teR. z = 3 + 6t,

x = 3 + s.

/,: y ■ 4, seR. z= 2s.

Wektory [3.0,6], [1.0,2] są równoległe, więc te proste są również równoległe. Zatem proste te mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się) lub nie mają ani jednego punktu wspólnego Punkt (2,4,3) należy do prostej /, Sprawdzamy, czy punkt ten należy również do prostej /. tzn. czy- istnieje taka wartość parametru s, by spełnione były równania

2    = 3 + s,

■ 4 = 4,

3    = 2s.

Stąd otrzymujemy sprzeczną koniunkcję: s = -l a s= Zatem proste A i są równoległe i nie mają punktów wspólnych.    ■

PRZYKŁAD 3.6. Zbadamy wzajemne położenie prostych

x = 2 + 3t,

/,: y = 4 + 9t.    t e R,

z=3 + 6t, x = 3 + 2s.

/,:. y = 4+6s, s eR z=3+2s.